Desafio do Cientista Doidão!!!!

DESAFIO!!!!!
Um grupo de caçadores saiu do acampamento para caçar um urso. Caminharam uma milha para o sul, depois percorrem outra milha a oeste, encontrando um urso, que mataram. Voltaram então para o acampamento, verificando que ao todo tinham caminhado três milhas. Qual era a cor do urso?

Paralelas que se cruzam....
Bom doidões, apesar do enunciado do desafio parecer um pouco non-sense, tem sim uma solução. E para podermos entender melhor o problema, vamos ter que relembrar alguns conceitos antigos de geometria, mais especificamente os postulado de Euclides.
A primeira (e única, dependendo tua área de estudos) geometria que aprendemos no colégio é a Geometria Euclidiana. É aquela que podemos vivenciar no dia a dia. Também conhecida como Geometria Plana, ela nasceu da necessidade de medir terrenos, e traçá-los novamente após as enchentes do Nilo, de construir casa, móveis, barcos para navegar grandes distâncias.
Conforme falei na biografia de Euclides, embora ele provalmente não tenha criado nenhuma regra da geometria, ele reuniu todo conhecimento de geometria de sua época na obra Os Elementos, que foi tão importate que a geometria recebeu seu nome. Alguns dos postulados mais importantes de suas obra são:
-Uma linha reta pode ser traçada de um ponto qualquer a outro ponto qualquer
-Um círculo pode ser traçado com centro e raio qualquer
-Todos os ângulos retos são iguais
e os postulados mais significativos são o segundo e o quinto:
2º-Um seguimento de reta finito pode ser prolongado indefinidamente para se tornar uma reta infinita
5º-Dado uma reta e um ponto, pode-se traçar somente uma reta que passa pelo ponto e é paralela à reta dada
Os dois últimos postulados são de extrema importância para este post.

Na geometria eculidiana, a soma de ângulos internos dos triângulo sempre dá 180°, e quando temos um triângulo-retângulo podemos usar o teorema de Pitágoras, que diz a² + b² = c². Se pegarmos o percurso feito pelos caçadores do enunciado do desafio, teremos um triângulo-retângulo de com todos lados 1, oque contradiz o teorema de pitágoras. Se camanharam na ida, 1km ao sul, e mais 1 km a oeste, na volta teriam que obrigatoriamente fazer √2, pois pelo teorema 1² + 1² = (√2)².

A geometria Euclidiana funcionava muito bem em superfícies planas. Ora pois, a geometria Euclidiana é uma Geometria Plana.
Então como podemos definir situações geométricas sobra uma superfície curva? Certamente a geometria Euclidiana não é satisfatória. Mas se a Terra é uma esfera, como a geometria de Euclides funcionou na Terra por mais de 2000 anos??? Ocorre que localmente, podemos considerar a superfície da Terra como plana. Entretando quando trabalhamos com grandes distâncias sobra a superfície da terra a geometria de Euclides não funciona.

Para desenvolver uma geometria de espaço curvo foi necessária a colaboração de grandes mentes que marcaram a história da matemática. Entre eles podemos citar Gauss, Bolyai, Lobachevski e Riemann (que não é irmão da She-ha). Só que o preço pago por alguns desses matemáticos foi absurdamente alto. A hostilidade despertada a essas idéias fez com que esses matemáticos fosses duramente rejeitados pode seus colegas e público.

Nada Como o Senso Comum....
A tendência de julgar o mundo  natural em termos do senso comum tem nos levado a acreditar que o Sol realmente nasce e se põe, que as estrelas giram em torno da Terra, que a Terra é plana eo centro do universo. Todas estas crenças antropocêntricas são resistentes, mas nenhuma é tanto como a de que o universo será uma mera extensão do ambiente terreste. Até o início do século XIX acreditava-se que as leis da geometria Euclidiana eram válidas em qualquer região do universo exatamente como na terra.
Em 1924 apareceram outras geometrias além da de Euclides, igualmente válidas, mas descrever universos acentuadamente diferentes. Com essa descoberta abriu-se também a hipótese de o nosso universo não ser euclidiano, mas corresponder a alguma das novas geometrias.
Johann Carl Friederich Gauss foi o mais eminente matemático de sua época. Aos 7 anos de idade, na escola, Gauss mostrou seu potencial matemático ao demonstrar quase imediatamente a seus professores a soma dos números inteiros de de 1 a 100, notando que a soma total seria igual à soma de 50 pares, os 100 + 1 = 101, 99 + 2 =101, 98 + 3 =101 e assim por diante.
Em 1924 Carl Gaus recebeu uma carta de seu antigo colega Farkas Bolyai, pedindo que apreciasse um manuscrito de seu filho Janos. Janos substituiu o quinto postulado por outro aparentemente contrário ao senso comum: "Dado uma reta e um ponto, pode-se traçar INFINITAS retas que passa pelo ponto e  paralela à reta dada". Com este enunciado e os restantes dos postulado, Janos Deduziu teoremas diferentes da geometria de Euclides, mas lógicamente bem fundamentados.
Gauss leu o manuscrito com interesse e uma sensação de familiaridade, porque ele próprio fizera as mesmas descobertas anos antes, oque revelou numa carta ao pai de Bolyai, mas se calara com receio do desagrado que provavelmente provocaria entre colegas. Em 1832, o matemático russo Nikolaus Lobatchevski fez independentemente a mesma descoberta de Janos e Gauss. O interesse de Lobatchevski na geometria não-euclidiana fez com que ele fosse visto na Rússia como uma "pessoa excêntrica", para usarmos um termo delicado. Ele foi atacado em um artigo humilhante e ignorante, e os membros distintos da comunidade de matemáticos russo faziam zombarias e comentarios rudes sobre ele. Naquele tempo a geometria de Euclides era reverenciada como uma Bíblia e a descoberta de outra geometria seria como descobrir uma segunda Bíblia que divergisse profundamente do cristianismo.
Em 1954 o matemática Benhard Riemann criou uma terceira geometria, que difere da de Euclides no 2° e 5º postulado, que tem os seguiente enunciados: "Um seguimento de reta finito NÃO pode ser prolongado indefinidamente para se tornar uma reta infinita" e "Dado uma reta e um ponto, NÃO pode-se traçar nenhuma reta que passa pelo ponto e paralela à reta dada".

O mundo descrito pela geometria de Gauss/Janos/Lobatchevski é como a superfície de uma sela de cavalo, com curvatura negativa. Dá-se o nome de pseudo-esfera, mas não se assemelha a uma esfera. Num universo assim, haveria infinitas retas paralelas que passam por um ponto, e a soma dos ângulos internos de um triângulo seria menos que 180º. O mundo de Reimann é uma esfera e as retas corresponde a arcos de círculos, com curvatura positiva. Nesse mundo  nenhuma reta poderia ser prolongada infinitamente, as paralelas sempre se cruzam e as somas dos ângulos internos seriam maior que 180º.
 Se um cartógrafo equipado comos mais modernos instrumentos, percorre 100km em três direções: sul, oeste e norte. O leitor naturalmente apostará que, se o cartógrafo  em seguida percorrer 100 km para leste, terminará o passeio exatamente no ponto de partida, fechando umm quadrado de 100 km de lado. Porém a verdade é que na última etapa do percurso, chegará ao ponto de partidaantes dos 100 km, digamos quando tiver percorrido 98 km. Oque aconteceu? O ponto de partida saiu do lugar? Ou o instrumento de medida do percurso está avariado?

 Oque aconteceu é que o senso comum nos enganou, levando-nos a pensar que as quatros direções cardiais são, numa superfície esférica, perpendiculares entre si, como em uma superfície plana. O cartógrafo não percorreu um quadrado perfeito porque a Terra é uma esfere, e sua geometria é riemanniana, não euclidiana. O cartógrafo iniciou o trajeto em algum lugar no norte, caminhou primeiramente em direção sul ao longe de um meridiano, depois para oeste ao longo de um paralelo, e depois para norte ao longo de outro meridiano, ficando ao final mais perto do ponto de partida, porque os meridianos convergem para os polos.


Bom, agora podemos agora responder o desafio do início: o uso era branco porque o trajeto triangular percorrido pelos caçadores só fará sentido se o ponto de partida estiver no Pólo Norte.