Por que o DeLorean precisa estar à 88mph para viajar no tempo????

     Apesar dos erros de ciência e de roteiro, é impossível negar que o filme De Volta para o Futuro é um dos grandes clássicos da ficção científica. Durante a trilogia, Doc Brown nunca nos explicou o motivo pelo qual o DeLorean precisa estar a 88 milhas por hora para poder viajar no tempo. Para poder explicar e mostrar os cálculos primeiramente precisamos entender como funciona a teoria da viagem no tempo usada no filme. Existem várias teorias que falam da possibilidade de viajar no tempo, irei pincelar algumas delas.

    Mas começarei a teoria errada (ou quase errada). Quando eu estava no segundo grau um professor de matemática (talvez seja por isso o erro) explicou como funcionava a viagem no tempo em que o filme se baseava. E fazendo um movimento com um giz da lousa (saudades dos anos 90) em direção ao seu rosto ele explicou que, imaginando que o giz é uma onda de luz que refletiu num objeto e se dirige à nossa retina, se nós acelerássemos à velocidade da luz estaríamos exatamente acompanhando aquela onda de luz e assim tudo ficaria parado (foi com este raciocínio que Einstein criou a teoria da relatividade) e o tempo pararia para essa pessoa.

    Se dermos um passo mais à frente na imaginação e acelerássemos mais que a velacidade da luz, ultrapassando-a, iríamos simplesmente voltar no tempo. Caso resolvessemos parar o tempo voltaria ao normal e todas ondas de luz que passamos iriam passar por nós novamente, revendo todo o passado. Essa não é a teoria usada no filme pois nesse caso de viagem do tempo nós só poderíamos rever o passado mas não interagir com ele, pois não estaremos em contato com a matéria mas somente recebendo suas ondas de luz novamente. E o ponto crucial é que, pela teoria da relatividade do Einstein, nada pode viajar mais rápido que a luz.

    Albert Einsten e Kurt Gödel discutiram sobre a possibilidade da viagem no tempo através da rotação do universo (pretendo fazer um post sobre isso em breve). Outro teoria sobre viagem no tempo é a do Buraco Negro, que supostamente conecta à outra parte de universo em um Buraco Branco, ou seja, tudo que cai num Buraco Negro é cuspido pelo Buraco Branco em outro canto distante do universo. Caso acelerássemos um dos buracos à velocidade da luz o tempo iria diminuir para ele mas continuaria passando normal para o buraco parado criando uma distância temporal. Porém essa teoria funcionaria para apenas a partir do momento que os buracos fossem colocados em movimento, impossibilitando viagem para um tempo anterior.

    Já no filme a teoria da viagem no tempo é a do Buraco de Minhoca, onde o espaço-tempo é dobrado criando um atalho entre o ponto A e B. É como se pegasse uma folha de papel com os pontos A e B nas extremidades opostas e dobrasse a folha aproximando os pontos. Qualque objeto que passase por um buraco esteria exposto à temperaturas extremamente baixas, próximas do zero absoluto (-273°C), por isso o DeLorean fica gelado após a viagem.

    Buracos de minhocas necessitam de muita energia para serem criados (por isso o plutônio e o raio da torre) e são altamente instáveis, durando apenas uma fração de segundo. E é esse o motivo do DeLorean necessitar estar à 88mph. Acompanhe o cálculo abaixo:

    88mph x 1,6 = 140,8 K/h

    140,8 K/h ÷ 3,6 = 39,0 m/s

    Ou seja, 88mph é igual a 140 K/h que é igual a 40 m/s aproximadamente, então a cada segundo o DeLorean move 40 metros. Já que o buraco de minhoca é instável e dura apenas uma fração de segundo, aproximadamente 0,1segundos então 40 m/s ÷ 0,1s = 4 metros, que é exatamente o comprimento de um DeLorean (e da maioria dos carros comuns). Então 88mph é a velocidade mínima necessária para que o DeLorean passe com os seus 4 metros de comprimento pelo buraco de minhoca em 0,1 segundo. Caso não atinga essa velocidade o buraco fechará e cortará o carro ao meio.

Algoritmos de Destruição em Massa

    Bom, para a retomada da nova versão do blog começo com o excelente livro "Algoritmo de Destruição em Massa", da autora Cathy O'Neil. Confesso que antes de ler tinha um certo receio de o tema fosse abordado de um modo terrorista (tentando assustar essa nova ciência) ou conspiracionista, porém não acontece isso. Sempre que ela mostra os riscos do uso do algoritmos é embasado com informação de quem tem anos de experiência na área.

    Com Ph.D em Matemática pela Harvard, Cathy O'Neil largou a carreira acadêmica para entrar no mercado financeiro. Seu primeiro livro, Doing Data Science, tem uma abordagem mais didática sobre ciência de dados. Já  no best seller ADM ela usa uma visão mercadológica do tema, mostrando suas aplicações e implicações. Inicio então abordando a silga ADM, que se ajusta tanto ao título da tradução (Algoritmo de Destruição em Massa) quando à tradução literal do título original (Armas de Destruição Matemática).

    O livro dividido em capítulos, onde cada capítulo (tirando os dois primeiros que são introdutórios) é focado em um mercado (financeiro, educação, seguros, publicidade, justiça, seleção profissional, vida cívica e trabalho), iniciando sempre com uma explanação de como as ADMs funcionam em cada um desses mercados os prós e contras (foco sempre nos contras) desse uso. Os contras geralmente são os mesmos: as ADMs são enviesadas (nem todas), sempre favorecendo os que já são favorecidos e desfavorecendo os que mais precisam. Os vieses tem diversas origens, podendo ser pela região geográfica do indivíduo, ou por sua origem, posição social, etc.

    Porém a grande conclusão do livro (****CONTÉM SPOILER - CASO NÃO QUEIRA PULE ESTE PARÁGRAFO****) é que as ADMs que são enviesadas são pelos mesmos motivos: opacidade, escala e dano. Opacidade ou falta de transparência pois essas ADMS são como uma caixa preta, fechada, onde não conseguimos entender como funcionam. Dados entram e cospem um resultado, mas como ninguém sabe ela chegou nesse resultado (somente a empresa que criou, porém não se importam muito com isso). Isso impede em entender quando uma ADM cometeu um erro e ,principalmente, poder ser corrigir. Juntandos essa opacidade e incapacidade de corrigir os erros, e aplicando em larga escala, o dano está feito.

    Em cada capítulo então ela mostra como essa opacidade contribuem para os vieses das ADMs, dando vários exemplos ocorridos no território norte americano (porém se aplica a outras regiões), e exemplificando também casos em que ADMs abertas (não opacas) funcionam perfeitamente, onde é possível entender como funcionam, o porquê do resultado gerado, e corrigindo caso encontrado algum problema.

    Por que ler este livro?  Primeiramente para entender o que é e como funcionam as ADMs; para saber o que uma dieta única nacional tem a ver com ADMs; o que é o fechabrir (clopening); como as ADMs são responsáveis pela polarização nas redes sociais; como filtros de spam podem ser reorganizados para identificar o vírus da AIDS; o que é frenologia; a SKYNET está próxima?; e principalmente para poder fugir (quando possível) dos vieses da ADMs.

Versão 2.0

 Olá doidinhos!!!!!

Após alguns anos de sumiço (devido a TCC, pós, iniciação científica, segunda graduação e diversas outras atividades) resolvi retomar o projeto e aproveitar então para atualizar a cara do site e dos assuntos. Com a finalização da minha pós em ciência de dados resolvi utilizar este meu canal para poder divulgar mais sobre ciência de dados (usarei o termo mais abrangente de ciência de dados mas quando necessário usarei os termos mais específicos das subáreas), mas também manterei e atualizarei os temas antigos que sempre gostei.

Quem se lembra do início do blog, criei com o objetivo de escrever sobre livros de divulgação científica que tinha lido, e fui agregando outros assuntos como biografia, filmes, humor, curiosidades e outros. Na verdade o objetivo principal do blog era exercitar a minha escrita, que sempre foi meu ponto fraco. Como a cara antiga do blog, era o Homem Vitruviano, então nada mais justo que na atualização seja o "Homem Vitruviano Matrix" (porém não abordarei aqui temas de "red pill/blue pill" e outras conspirações relacionadas ao filme).

Apesar de estar retornando a escrever aqui, minha rotina continua intensa (trabalho, graduação e iniciação científica), então certamente não conseguirei postar com tanta frequência quanto gostaria, mas me esforçarei para manter o blog atualizado.

Espero que apreciem lendo assim como aprecio escrevendo.

Astronomia x Astrologia

Pironautas, vi esse vídeo sensacional do canal Nerdologia e tive que compartilhar. Excelente comparação entre astronomia e astrologia. Crédito ao Átila e ao Jovem Nerd.

Matemática e Música - Um passeio numérico através dos sons

"A música é uma ciência que necessita possuir um estatuto definido. Suas regras devem ser extraídas de um princípio claro, inconcebível sem o auxilio da matemática. Apesar de toda a experiência que eu posa ter em música por associar-me a ela por tanto tempo, devo confessar que somente com auxílio ma matemática, minhas idéias tornaram-se claras e a luz substituiu uma escuridão da qual eu não estava ciente." 

              Rameau, 1722


     A relação entre a música e a matemática é muita antiga. Na Grécia antiga, com as experiências de sábios como Pitágoras e Arquitas, até os séculos XVIII, com cientistas musicais tais como Saveur, Rameau, Daniel Bernoulli, Euler, Ohm, Fourier e Helmholtz, fortes contribuintes na explicação racional de fenômenos matemático-musicais como o Temperamento e Séries Harmônicas. Embora essa relação provavelmente fosse conhecida superficialmente antes dos pitagóricos, estes foram os primeiros a registrar e explorar essa relação. Os pitagóricos foram os únicos até Aristóteles a fundamentar cientificamente a música, começando  a desenvolvê-la e tornando-se aqueles mais preocupados por este assunto. Como principais teóricos musicais dessa escola são Pitágoras e Filolaus no período pré-clássico e Arquitas, Aristoxeno e Aristóteles no período clássico.
     Provavelmente inventado por Pitágoras, o monocórdio é um instrumento composto por uma única corda (berimbau???) estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa possuindo ainda um cavalete móvel colocado sob a corda para dividi-la em dois. A princípio, seus experimentos evidenciavam relações entre comprimento da corda estendida e a altura musical do som emitido quando tocada (não confundir altura musical com altura do volume - altura musical é a variação entre altura dos sons graves, com frequência baixa e sons agudos, com frequência alta; e altura de volume é a variação da amplitude da onda, variando entre volume baixo e volume alto). Pitágoras buscava relações de comprimentos - razões de números inteiros - que produzissem determinados intervalos sonoros. Em seu experimento, observou que pressionando um ponto situado a 3/4 do comprimento da corda em relação a sua extremidade e tocando a corda ouvia-se uma quarta acima do tom emitido pela corda inteira. Analogamente, exercida a pressão a 2/3 do tamanho ouvia-se uma quinta acima e a 1/2 obitinha-se a oitava do som original.
     A descoberta da relação entre razão de números inteiros (1/2, 2/3 e 3/4) e tons musicais mostrou-se significativa naquela ocasião, gerando uma dúvida fundamental para o pensador de Samos: Por que as consonâncias musicais subjazem razões de pequenos números inteiros? Qual a causa e qual o efeito? Pitágoras justificou a subjacência de pequenos números inteiros às consonâncias pelo fato de que os números 1, 2, 3 e 4, envolvidos nas frações mencionadas, geravam toda a perfeição. Os pitagóricos consideravam o número quatro (primeiro quadrado par) origem de todo o universo, representando a matéria em quatro elementos. Com essas razões, poderíamos por exemplo, partindo de um fá e subindo uma quinta (2/3) obteremos um dó, que por sua vez subindo outra quinta teremos um sol, repetindo teremos um ré (oitava acima), seguido de lá, mi e si, formando a sequência fá, dó, sol, ré, lá, mi e si, e remanejando apresenta-se dó, ré, mi, fá sol, lá e si. Tal relação de comprimentos 2/3 chama-se gama pitagórica. Assim obtém-se as relações 8/9 com ré, 16/27 com lá, 64/81 com mi e 128/243 com si, formando os intervalos de tom, tom, semitom, tom, tom, tom e semitom temperados. Partindo da nota dó e construindo a escala pelo percurso de quintas, o ciclos fecha-se formando a sequência dó, sol, ré, lá, mi, si, fá#, dó#, sol#, ré#, lá#, fá e dó. Porém estas notas correspondem, na gama temperada, a aproximações dos sons de fato alcançados.
     Um dos mais importantes teóricos musicais do período clássico, Arquitas de Tarento (430-360 a.C.) colaborou de maneira significativa não somente para o desenvolvimento da música mas para o desvendar de seus fundamentos racionais. Escreveu trabalhos científicos relacionados ao cálculos de intervalos musicais e proporções musicais. Entre suas contribuições, há evidências que possivelmente modificou a antiga denominação da média subcontrária para média harmônica, provavelmente pelo fato do comprimento relativo ao intervalo de quinta (2/3), de grande valor harmônico para os gregos, ser a média subcontrária entre o comprimento da corda solta e aquele correspondente à oitava, intervalo consonante fundamental. Arquitas também foi o primeiro pensador a associar altura musical à frequência pela comparação de sons emitidos por ventos fortes e fracos e deslocando o foco de atenções da fonte de emissão de som para o ar, antecipando em 2000 anos o estudo da Acústica (propriedades física do som) por parte de Galileu no séc. XVII.
     O renascimento teve um profundo papel no estudo da Música com ciência, seguido de alguns aprofundamentos importantes neste período na compreensão das idéias de Série Harmônica e Temperamento. Na parte musical o Renascimento caracteriza-se pela evolução da polifonia - superposição de melodias - e consequentemente desenvolvimento da harmonia. Caracterizada por processos de matematização, experimentação e mecanização, a Revolução Científica nos séc XVI e XVII propiciou a emergência de interpretações e argumentações inovadoras. Realizando trabalhos matemáticos concernentes a esta área em seu tratado Música Teórica, Ludovico Fogliane (1470-1539) forneceu subsídios para que Gioseffe Zarlino (1517-1590) organizasse em sua obra Inztituzioni Armonique (1558) a base científico-cultural em toda Europa durante dois séculos. Modificando substancialmente a concepção pitagórica, Galileu Galilei escreveu em 1638 que nem o comprimento, nem a tensão e nem a densidade linear de cordas apresentava-se como razão direta e imediata subjacente a intervalos musicais, mas razões dos números de vibrações e impactos de ondas sonoras que atingiam o tímpano. Considerando o som que alcaçava o ouvido invés do objeto vibrante que produzia, Galileu verificou que a altura musical relacionava-se diretamente à frequência registrando rastros de arranhões desenhados numa placa metálica provenientes de uma haste vibrante solidária a uma membrana que recebia vibrações sonoras. A percepção por parte de Galileu no séc. XVII de que a sensação de altura musical relaciona-se diretamente ao conceito de frequência marca o início da física da música em sua concepção atual.
     O padre e matemático francês Marin Mersenne (1588-1648) que apresenta-se como primeiro teórico a fundamentar o estudo de harmonia no fenômeno da ressonância. Trocando correpondência assídua com René Descartes (1596-1650) Mersenne discutiu problemas e aspectos pouco claros do Compendium Musicae escrito pelo filósofo francês em 1618.Constatando a possibilidade de acompanhar visualmente  os movimentos vibratórios das cordas, o matemática francês utilizava o próprio pulso com intuito de marcar o tempo necessário para completar um determinado número de ciclos. Variando os comprimentos e tensões, Mersenne verificou empiricamente que para frequências visualizáveis, a vibração de um fio esticado era inversamente proporcional ao comprimento da corda se sua tensão fosse constante; diretamente proporcional à raiz quadrada da tensão  se o comprimento fosse constante e inversamente  proporcional à raiz quadrada da massa por unidade de comprimento, para fios diferentes de mesmo comprimento e tensão, chegando na fórmula descrita:
onde f é a frequência, l o comprimento da corda, n uma constante inteira, T a tensão que a corda encontra-se sujeita e p a densidade linear da corda. A partir de tal descoberta, a natureza das consonâncias é retomada à luz das leis de corpos vibrantes. A fórmula citada implica em reorganizações de Mersenne a respeito de médias harmônicas e aritméticas em música. Para o matemático francês, a média aritmética possuía caráter superior à harmônica, pois tomando números proporcionais às vibrações - causas primeiras do som - a quinta na posição inferior resultava na média aritmética dos números que caracterizam a oitava.
     O matemático, astrônomo e filósofo nascido em Wiel, Johannes Kepler (1571-1630) apresentou, além de preciosos legados em física tais como as leis dos movimentos dos planetas, fortes subsídios para a ciência musical. Com o falecimento de Tycho Brahe em 1601, Kepler assumiu seu posto trabalhando na organização de calendários e na predição de eclipses como matemático e astrônomo da corte do imperador Rudolfo II em Praga até 1612, estabelecendo-se mais tarde em Linz, onde concluiu e publicou seu Harmonices Mundi em 1619. Principal contribuição do astrônomo alemão à teoria musical, essa obra compõe-se de 5 livros - os dois primeiros relacionam a origem das 7 harmonias com arquétipos inerentes à geometria e à Deus; o livro 3 apresenta um tratado sobre consonância e dissonância, intervalos, modos, melodia e notação; o livro 4 discorre sobre astrologia enquanto o volume 5 aborda a Harmonia das Esferas. O cientista alemão verificou empiricamente a existência de oito consonâncias: uníssono (1/1), oitava (1/2), quinta (2/3), quarta (3/4), terça maior (4/5), terça menor (5/6), sexta maior (3/5) e sexta menor (5/8). Dentre suas contribuições em música, Kepler defendia a existência de escalas musicais peculiares a cada planeta, que soavam como se estes cantassem simples melodias, relacionando para isso velocidades dos planetas às frequências emitidas.
     O compositor e teórico francês, Jean Philippe Rameau (1683-1764) iniciou seus estudos com seu pai que era organista profissional, frequentando durante a infância uma escola de jesuítas e cumprindo mais tarde um pequeno período de estudos na Itália. Em 1702, tornou-se maitre de musique da Catedral de Avignon, transferindo-se nesse mesmo ano para Catedral de Clermont e tornando-se em 1706 organista do colégio jesuíta em Paris. Em 1722, supervisionou a publicação do seu Traité de l'Harmonie, obra em que apresenta uma nova teoria sobre relação entre o baixo e a harmonia, baseada em suas concepções das propriedades físicas do som.
     O Traité de l'Harmonie compõe-se de 4 livros. O primeiro discorre sobre a relação entre relações harmônicas e proporções, o segundo  trata da natureza e propriedades dos acordes e tudo que pode ser utilizado para se atingir a música perfeita, o terceiro e quarto livros estabelecem respectivamente  princípios para composição e acompanhamento musicais. Somente o primeiro livro possui uma abordagem da música à luz da ciência. Segundo Rameau, a música é a ciência dos sons, portanto o som é principal matéria da música. Dividindo esta arte/ciência em harmonia e melodia, o teórico francês subordinou esta última à primeira, admitindo  que o conhecimento de harmonia é suficiente para a compreensão completa das propriedades da música. Estabelecendo uma relação biunívoca entre som e tamanho da corda, o teórico afirmou que cada corda contém em si mesma todas as outras menores que elas, mas não aquelas que são maiores; portanto os sons agudos estão contidos em sons graves, porém os sons graves não estão contidos nos agudos.
     Assim como Zarlino e Descartes, Rameau obteve os intervalos consonantes dividindo a corda em até 6 partes, afirmando que às consonâncias, subjaziam números consecutivos e que a ordem de tais números determinava a ordem e perfeição  das consonâncias. Segundo tal critério, a oitava - 1:2 possuia caráter mais consonante que a quinta - 2:3 - que por sua vez, apresentava-se mais consonante que a quarta - 3:4 - e assim por diante. Esta afirmação de Rameau mostrava-se ineficaz, uma vez que a sexta maior - 3:5 - além de não ser produzida por números consecutivos, não precedia a terça maior - 4:5 - nem a terça menor - 5:6.

     Segue abaixo a tabela dos intervalos músicais e as razões matemáticas:

Intervalo                 - Razão        - Nota (considerando Dó como a corda inteira)
Primeira justa         - 1 Corda     - Dó
Segunda menor      - 128/135     - Dó# ou Réb
Segunda maior       - 8/9             - Ré
Terça menor           - 5/6             - Ré# ou Mib
Terça maior            - 4/5             - Mi
Quarta justa            - 3/4             - Fá
Quarta aumentada  - 32/45         - Fá# ou Solb
Quinta justa            - 2/3             - Sol
Sexta menor           - 5/8             - Sol# ou Láb
Sexta maior            - 16/27         - Lá
Sétima menor         - 5/9             - Lá# ou Sib
Sétima maior          - 8/15           - Si
Oitava justa            - 1/2             - Dó (1 oitava acima)

O verdadeiro formato do Sol

     Nosso planeta é esférico com algum achatamento, só que ele é um planeta composto por substancias solidas, já o Sol é composto 81% de hidrogênio, 18% de hélio e 1% de outros elementos, até pouco tempo atrás se imaginava então que o sol tinha um formato extremamente instável e aleatório, porem, recentemente novas descobertas foram feitas!

     Uma bola de aparência incandescente que ilumina os dias, o Sol de fato é o objeto natural mais redondo medido pela ciência. Mas não é na verdade tão esférico quanto parece, conforme vêm mostrando astrônomos. Ele é achatado e menos mutável do que se imaginava, de acordo com artigo publicado no site daScience. “Tivemos acesso a um grande volume de dados que nos renderam medições mais precisas do que as anteriores”, explica o astrônomo Marcelo Emilio, do Observatório Astronômico da Universidade Estadual de Ponta Grossa, no Paraná. Mais do que uma curiosidade sobre a esfera celeste, o formato afeta a órbita dos planetas que gravitam em torno dele.


     O equipamento, a bordo do satélite da agência espacial norte-americana (Nasa) lançado no início de 2010 e batizado como Observador Dinâmico Solar (SDO), capta uma imagem do astro a cada 4 segundos. Além disso, para obter as medidas de achatamento é preciso fazer com que o satélite gire 360° sobre si mesmo, captando imagens solares durante essa rotação. O grupo de Emilio, que inclui pesquisadores da Universidade Stanford, na Califórnia, e da Universidade do Havaí, pôde fazer essa manobra de seis em seis meses. A partir dessas imagens, Emilio considera ter chegado a uma definição do formato do Sol mais precisa do que estava disponível até agora – refinando inclusive trabalho dele próprio publicado em 1997 a partir de dados gerados por outro equipamento da Nasa, o Observatório Solar e Heliosférico (Soho). Tão precisa que detecta um achatamento muito sutil: se o sol fosse uma bola de um metro de diâmetro, seu diâmetro equatorial seria apenas 17 milionésimos do metro maior que o diâmetro polar Norte-Sul. “A grande massa do Sol tende a fazer com que fique redondo, contrariando o achatamento causado pela rotação”, explica o astrônomo.

     Para analisar o interior do Sol, as únicas maneiras são estudar os neutrinos – partículas que são lançadas de lá e em 8 minutos chegam à Terra e a atravessam quase como se ela não existisse, explica Emilio – ou as ondas sísmicas que se propagam como terremotos pelas camadas do Sol, por isso conhecidos como heliomotos. “Agora medimos a parte visível por inteiro”, afirma o pesquisador, que em trabalho anterior estimou o diâmetro do astro em 1.392.684 quilômetros.

     A natureza gasosa do Sol torna sua rotação muito mais complexa que a da Terra, um planeta rochoso. “Não é um corpo rígido, seu equador gira mais depressa que os polos”, detalha. Por isso, trabalhos anteriores postularam que o formato externo varia a cada ciclo solar, que dura 11 anos. Para Emilio e seus colegas, porém, o formato mais simples do Sol – quando se considera os dois polos e o equador – é fixo. Medições posteriores ainda devem definir se há variação em aspectos mais detalhados dessa estrutura geométrica.

     O astrônomo do Paraná estima que as novas medições devem ser bem recebidas pela comunidade especializada, apesar de contradizer hipóteses anteriores, devido ao volume de dados que englobam. Mas não é o fim da história: “Agora o pessoal da teoria vai refinar os modelos existentes”, prevê, se referindo a modelos matemáticos que congregam características como composição química, densidade e tamanho. À medida que mais informações são incorporadas, os pesquisadores alteram os parâmetros do modelo até chegar a um encaixe satisfatório entre teoria e observação. No que diz respeito à publicação, a discussão pode começar depressa: apenas uma semana se passou entre o artigo ser aceito pela Science e publicado em seu site na rubrica ScienceXpress, que disponibiliza publicações antes que saiam na revista impressa.

4 problemas do Infinito

     Nenhum assunto provocou tanta polêmica e tanta discussão entre os matemáticos. O infinito não é um número, não é uma medida: é uma ideia, que representa o que não tem limites ou fim. O conjunto dos números naturais, por exemplo, é infinito, por que não importa qual o número que você tem, sempre poderá adicionar 1 e obter o número subsequente.
     Mesmo sendo a representação de uma ideia, e não um número, o infinito tem algumas propriedades numéricas que permitem que a gente trabalhe com ele. Por exemplo, se representarmos esta ideia com o símbolo ∞, podemos escrever ∞ + 1 = ∞, que pode ser interpretado com “se algo não tem fim, você pode somar 1 e ela ainda será sem fim”.
      A coisa mais importante sobre o infinito é que -∞ < x < ∞, onde x é um número real, que é uma abreviação para a frase "menos infinito é menor que qualquer número real, e infinito é maior que qualquer número real". Algumas operações com o ∞ são indefinidas, como, por exemplo, ∞ + ∞ = ∞, ou - ∞ + - ∞ = ∞. Além disso, existem também os conjuntos com infinitos elementos, e a ideia de tamanhos diferentes de infinitos.
     Mas o mais bizarro são os paradoxos que temos com os números infinitos. Um paradoxo é uma noção verdadeira que desafia nossa intuição, ou até mesmo a lógica. Vejamos alguns paradoxos envolvendo o infinito:

1. Hotel de Hilbert

     Imagine um hotel com infinitos quartos, e que todos eles estão ocupados. Chega um viajante no hotel, e pede para se hospedar. Só que não tem vagas; apesar de ter infinitos quartos, o hotel já está totalmente ocupado.
     Mas o gerente é um sujeito que não manda ninguém embora, e faz o seguinte: pede para o hóspede do quarto 1 se mudar para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 se mudar para o quarto 3, o hóspede do quarto 3 se mudar para o quarto 4, e assim por diante.
     E pronto, o hotel que estava cheio, agora tem uma vaga para o novo hóspede. Usando esta estratégia, o gerente do hotel pode acomodar um novo hóspede, 10 novos hóspedes, um milhão de novos hóspedes, ou até um número infinito de novos hóspedes.
     Este paradoxo foi proposto pelo matemático alemão David Hilbert, e é um paradoxo porque a nossa definição de hotel cheio é que não há vagas para novos hóspedes. Mas se o hotel tiver infinitos quartos, mesmo que todos eles estejam cheios, ainda assim dá para acomodar um conjunto de novos hóspedes, até mesmo infinitos novos hóspedes.

2. Trombeta de Gabriel

     A Trombeta de Gabriel, ou a Trombeta do Anjo Gabriel, ou ainda a Trombeta de Torricelli é uma superfície na forma de um funil (ou de trombeta). Ela começa larga e vai afinando rapidamente, mas nunca fica fechada – ou seja, segue até o infinito.
     A superfície da trombeta é infinita, mas o volume que ela envolve não é infinito (uma ideia matemática). Suponha que você tenha que pintar de dourado o lado de dentro desta trombeta. A superfície dela é infinita, então você precisa de uma quantidade infinita de tinta, certo? Bem, você pode pegar uma quantia finita de tinta, correspondendo ao volume da trombeta, e jogar esta tinta na trombeta, deixando ela escorrer.
     Você pode escolher aí o que vai te deixar mais desconfortável: se é uma superfície infinita envolver um volume finito, ou se é uma quantia finita de tinta cobrir uma superfície infinita.
     O discípulo de Galileu; Evangelista Torricelli foi o primeiro a pensar neste problema, que ele achou tão extraordinário que a princípio imaginou que tivesse feito alguma coisa errada.
     Outros filósofos e matemáticos ficaram tão horrorizados com os paradoxos que surgiam com o infinito, que chegaram a propor o banimento da ideia.

3. O enigma do jogo de dardos

     Suponha que você tem um alvo, um dardo, e 100% de certeza que irá acertar o alvo em alguma parte. Agora pense na ponta do dardo, o ponto matemático exato da sua extremidade, e pense em um ponto matemático no alvo. A pergunta é, qual a probabilidade que aquele ponto tem de ser atingido pelo dardo?
     Podemos começar supondo que há uma chance maior que zero daquele ponto ser atingido pelo dardo. Só que aí começam os problemas. Se há uma chance maior que zero de um ponto ser atingido, então há uma chance maior que zero para todos os outros pontos, de que eles serão atingidos pelo dardo. Mas existem infinitos pontos no nosso alvo.
     Se você somar as probabilidades de todos os pontos, vai chegar à conclusão de que o alvo todo tem uma probabilidade infinita de que ser atingido, o que não faz sentido, já que esta probabilidade não pode ser maior que 100%.
     E o que acontece se imaginarmos que a probabilidade de um ponto ser atingido é zero? Se a probabilidade de acertar aquele ponto particular é zero, então ela é zero para todos os outros pontos, e se somarmos as probabilidades de todos os pontos para ter a probabilidade de acertar o alvo, ela é zero. Mas temos certeza de que o alvo será atingido, como pode ser zero, então?

4. Duplicando seu dinheiro

     Imagine que um cassino esteja oferecendo um novo jogo. O jogo começa com um real no banco de apostas. A pessoa joga uma moeda. Se sair cara, o que tem no banco de apostas é dobrado, se sair coroa, o jogo termina e o jogador ganha o que tiver no banco de apostas.
     Quanto você pagaria para entrar neste jogo? Ou quanto seria justo para o cassino cobrar? Se você souber um pouco de matemática já deve ter ouvido falar em “esperança matemática”, ou seja, em um jogo envolvendo probabilidade do ganho esperado. E qual o ganho esperado neste jogo?
     A maioria provavelmente apostaria R$ 5,00, talvez um pouco mais, mas o que a matemática diz é: “aposte o que você tiver, a esperança de ganho é infinito”. O jogador tem probabilidade de 50% de ganhar R$ 1, 25% de probabilidade de ganhar R$ 2, 12,5% de ganhar R$ 4, e assim por diante. O valor esperado é a soma da probabilidade multiplicada pelo valor do prêmio, assim:
     E = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + …
     Esta é uma soma de infinitas frações 1/2, e o resultado é infinito. Ou seja, matematicamente falando, a esperança matemática de ganho é infinita. Mas, paradoxalmente, muita pouca gente está disposta a pagar alguma coisa a mais que R$ 20,00 para jogar este jogo.
     Obviamente, estamos falando de um cassino hipotético, capaz de colocar quanto dinheiro for necessário no banco de apostas. Na prática, haverá um limite para o prêmio máximo, e também para o número máximo de jogadas (ninguém vai ficar lançando uma moeda infinitas vezes). Talvez o paradoxo surja daí: ninguém espera ou consegue entender um cassino capaz de cobrir um prêmio infinito ou uma série infinita de caras em uma série infinita de lances de moeda.