Geodésica: Que diabos é isso???

Oque é a tal da Geodésica???
Além do nome ser feio, o conceito é mais feio ainda. Segue por exemplo a definição do Wikipedia:

-Uma geodésica é uma curva que une dois pontos tal que, para pequenas variações da forma da curva, o seu comprimento é estacionário. Do ponto de vista prático, na maioria dos casos, a geodésica é a curva de menor comprimento que une dois pontos. Em uma geometria plana (euclidiano), essa curva é um segmento de reta, mas em geometrias curvas (riemaniana), muito utilizadas por exemplo na Teoria da Relatividade Geral, a curva de menor distância entre dois pontos pode não ser uma reta.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Geodésica

Apesar de aparentar ser assustador, usando um exemplo prático fica mais fácil de compreender.
Repare na figura abaixo.

     Se um viajante que queira ir de Nova York para Madri e vá se guiando pela bússola indo sempre para leste, ele percorrerá uma distância total de 3707 milhas. Mas se ele resolver fazer um trajeto mais ao norte, passando pelo sul da groenlandia e islândia, percorrerá uma distância menor de 3605. Ué? Mas como é que a curva indo pro norte tem uma distância menor? Na escola a professora me disse que a menor distância entre dois pontos é uma reta!!! Ela me mentiu? Bom, talvez sim, mas não sobre isso. Realmente a menor distância entre dois pontos é a reta, mas lembre-se que a superficie da terra não é plana, ou seja, ambas as trajetórias na verdade são curvas. É aí que entra a geodésica. Imaginado a imagem acima em 3D, se puxarmos a reta para fora da tela ela ficará maior, e quanto mais puxarmos maior ela ficará, até ser mais comprida que a curva de cima.
     Então como saber se a curvatura é suficiente para a curva ser mais curta que a reta? Bom, em uma superfície curva, a menor distância entre dois pontos é a curva que tem como centro de curvatura (círculo da qual ela pertence) o mesmo centro de curvatura do plano. No caso da superfície da terra, da menor distância entre dois pontos é a curva que passa pelo círculo que tem como centro o mesmo centro da terra. A linha do equador é o caso perfeito de uma curva que tem como centro o centro da terra. As demais linhas, como trópico de Câncer e Capricórnio terão como centro um ponto acima e abaixo do eixo central de rotação da terra, mas não coincidirá com o centro da terra. Então, conforme mostra a figura abaixo, a distância mais curta entre Nova York e Madri é a curva que tem como centro de curvatura o centro da terra, ou seja o viajante deve ir na trajetória que passa mais ao norte.

     Espero que minha explicação tenha sido clara.

     Bruno Martinez Ribeiro