Provando que √2, é irracional

Bom doidinhos,

Hoje tentarei provar que raíz quadrada de 2 (√2)  é um número irracional.

Primeiramente vamos relembrar oque são número irracionais. Segue então a definição do Sr. Wiki:

"Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo I."

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Número_irracional

Lembrando então que temos os números inteiros representados por Z={1,2,3,4...}, temos também os números racionais, que são representados como razão (divisão) de números inteiros representados por Q={1/2,2/3,7/9...}, os números irracionais que não podem ser representados por uma razão irredutível entre dois números inteiros. Os números irracionais são muitos, e os mais famosos são pi (π), o número de Euler (e) e a raiz quadrada de 2 (√2). Então o número 0,666... é racional, pois pode ser representado como razão de 2 números inteiros, 2/3=0,6666... , mas o número pi, que é 3,1415... não pode ser representado por nenhuma divisão de inteiros.

Os números racionais tem uma participação de amor e ódio na história da matemática. Pitágoras foi um matemática e filósofo grego, nascido na ilha de Samos em 570 a.C. e morto em 497 a.C. Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica. Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas. 

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. O princípio essencial de que são compostas todas as coisas, é o número, ou seja, as relações matemáticas. Os pitagóricos, não distinguindo ainda bem forma, lei e matéria, substância das coisas, consideraram o número como sendo a união de um e outro elemento. Da racional concepção de que tudo é regulado segundo relações numéricas, passa-se à visão fantástica de que o número seja a essência das coisas.

A primitiva concepção pitagórica de número apresentava limitações que logo exigiriam dos próprios pitagóricos tentativas de reformulação. O principal impasse enfrentado por essa aritmo-geometria baseada em inteiros (já que as unidades seriam indivisíveis) foi o levantado pelo números irracionais.Para os pitagóricos, o números irracionais era uma aberração, que destruía a harmonia dos números do cosmos. Por isso, durante muitos anos os pitagóricos esconderam e negaram e existência dos números irracionais. Até que Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.

Mas agora vamos ao que interessa:  √2, é irracional?

Como podemos provar?

Para conseguirmos essa prova, usaremos um tipo de argumentação lógica chamada Redução ao Absurdo ou Prova por Contradição, que é uma técnica que usa uma argumentação contraditória chegando a um resultado absurdo,ou seja, provar que o oposto (do argumento inicial) não é possível. Sendo assim provaremos que √2 é irracional, provando que não pode ser um número racional(absurdo). 
Então iniciaremos supondo que se raiz quadrada de 2 é racional então pode ser representado por uma fração:

√2 = a / b

elevando os 2 lados da expressão ao quadrado, nos livramos da raiz e sobra:

2 = a² / b²

então passando b² para o outro lado da expressão fica:

a² = 2b²

então sabemos que a é um numero par, pois qualquer número multiplicado por 2 é par. Como raízes quadradas de números ímpares são ímpar e de pares são par, temos então que a é par. Assumiremos então que a é o dobro de um numero qualquer, por exemplo, de c, então:

a = 2c

subistituindo na equção:

(2c)² = 2b²

4c² = 2b²

2c² = b²

pelos mesmos argumentos demostrados anteriormente, chegaremos a conclusão que b também é par. 

Então se raiz quadrada de dois fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível. Isto é um absurdo e, portanto √2 é irracional.

E tenho dito!!!!

Lei de Kirchoff

1a. Lei de Kirchhoff (lei das correntes, ou lei dos nós) - Num dado nó, a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem. Ou seja, um nó não acumula carga.

 2a. Lei de Kirchhoff (lei das tensões, ou lei das malhas) - A soma algébrica das tensões, num percurso fechado, é nula.

 Baseando-se nas leis de Kirchhoff, equacione a figura abaixo:

E agora Einstein?

Muito, muito rápido

     Cientistas do CERN (Centro Europeu de Investigação Nuclear) fizeram testes com feixes de neutrinos – que são capazes de passar através de qualquer coisa, porque não interagem com a matéria comum – enviando eles da Suíça, através da crosta terrestre, para o centro de pesquisa Gran Sasso na Itália a 730 km de distância. Chamado de experimento OPERA, os testes foram feitos para medir a frequência de oscilações.

     O experimento OPERA, está localizado a 1.400 metros de profundidade, foi construido principalmente para detectar o aparecimento de neutrinos do tau a partir de um feixe de neutrinos do múon, num fenômeno físico conhecido como "oscilação de neutrinos". Este fenômeno permite um tipo de neutrino "transformar-se" em outro tipo diferente de neutrino quando viaja a longas distâncias. Para fazer isso, eles precisam correlacionar o aparecimento de neutrinos do tau em seus detectores com a chegada de neutrinos do múon  enviados do CERN.  Verificações cuidadosas dos tempos de chegada dos neutrinos de múon em  Gran Sasso é uma operação corriqueira e necessária no experimento OPERA.      Foi quando os cientistas perceberam que os neutrinos estavam chegando na Itália com alguns bilionésimos de segundos (20 partes por milhão) mais rápido do que a velocidade da luz, equivalente a 300 mil km/s, mesmo sabendo que neutrinos deveriam viajar com velocidades ligeiramente abaixo da velocidade da luz (eles têm massa pequena mas não nula). O feito foi realizado 15 mil vezes para ser confirmado estatisticamente.

     A ideia de que nada pode viajar mais rapidamente do que a luz é um pilar da teoria da relatividade especial, formulada por Einstein. E esta teoria está na base de toda a física moderna. Isto pode apontar para uma "nova física" - desde que os outros pesquisadores não encontrem erros no experimento e nas análises."Nós tentamos por todos os meios descobrir um erro - erros triviais, erros mais complicados, efeitos impensáveis - mas não conseguimos encontrar nenhum," disse Antonio Ereditato, da Universidade de Berna, na Suiça.

      O físico italiano Antonino Zichichi, falando à revista Nature, levantou a hipótese de que - se os resultados se confirmarem e a física como a conhecemos estiver mesmo desmoronando - então os neutrinos superluminais podem estar pegando atalhos por dimensões extras do espaço, algo que é previsto pela Teoria das Cordas. Mas tanto Ereditato quanto o CERN são bem mais comedidos:"As medições do OPERA estão em desacordo com leis da natureza bem estabelecidas, embora a ciência muitas vezes progrida derrubando os paradigmas estabelecidos," diz a nota do CERN.

     A confirmação deste achado experimental (cross-checks independentes estão sendo feitos nos próximos meses) colocariam em cheque-mate a Teoria da Relatividade de Einstein e teria importante consequências no formalismo geral das Teoria Quânticas de Campos (TQCs). Aguardemos os desdobramentos....  

Fontes: Inovação Tecnológica, Popular Science Brasil, Blog Prof. Magno Machado (Com alterações)

Um planeta, dois sóis

Não é só no cinema! A sonda Kepler está trabalhando bastante. Após descobrir um planeta que não é visível da Terra – o Kepler 19b- a sonda espacial descobriu um outro planeta com dois sóis. A descoberta é inédita, já que dessa vez a Nasa conseguiu captar imagens. Antes eles sabiam da existência desse fenônemo apenas por resultado de cálculos astronômicos.

O planeta foi batizado de Kepler 16b, fica à 200 anos-luz (dois quadrilhões de quilômetros)  da Terra, tem massa e tamanho parecido com o de Saturno e uma órbita de 229 dias. É um planeta gasoso, muito gelado e não há possibilidade de ser habitável por não existir água em estado líquido.

 A ideia de um planeta com dois sóis sooa familiar para você? No filme Stars Wars, Luke Skywalker já era contemplado com dois pores do sol no planeta Tatooine, lembra?

Fonte: Popular Science Brasil

Hipótese Nêmesis: A Estrela da Morte

     Embora não seja possível determinar quantas estrelas duplas existem na nossa galáxia, os astrônomos arriscam um limite inferior. Cerca de três em cada quatro estrelas da Via-láctea possuem uma companheira orbital. O nosso Sol é uma das poucas isoladas. Uma afirmação que só permanece válida dentro dos limites dos instrumentos que possuímos.
     E se estivermos enganados? Não é difícil imaginar uma pequena estrela percorrendo lentamente uma órbita muito alongada em torno do Sol, de modo que dele não se aproxima menos que 20.000 UA, afastando-se até 90.000 vezes essa distância.
     Não seria muito luminosa, tampouco massiva, caso contrário já teria sido notada através dos telescópios na Terra ou das oscilações que provocaria no Sol. Seria um tipo de estrela conhecida pelos astrônomos como anã marrom. Estaria, no presente, no ponto mais afastado de sua órbita, cujo período teria não menos que 26 milhões de anos.

     Cada vez que tivesse mais próxima Sol, a força gravitacional da estrela anã já seria o bastante para perturbar severamente as órbitas dos pequenos corpos de gelo e rocha que, aos bilhões, gravitam muito além de Plutão formando um gigantesco ninho de cometas conhecido como nuvem de Oort.
     O desequilíbrio na nuvem de cometas faria com que milhares deles fossem atraídos em direção ao centro do Sistema Solar, onde alguns fatalmente encontrariam pelo caminho pequenos e frágeis mundos, como a Terra. Mas onde estariam as marcas de tais impactos? Não é fácil encontrá-las na Terra. O movimento das placas tectônicas já destruíram um número sem fim de crateras. Os períodos glaciares aplanaram tantas outras. Os ventos e as chuvas vão desgastando a beira das crateras, arrastando o solo das encostas para o centro.
     Assim mesmo ainda existem cerca de 100 crateras, embora a idade de todas elas não possa ser determinada com precisão. Se a Terra preservasse suas crateras, certamente seria tão esburacada quanto a Lua ou Mercúrio. E como a Lua não está sujeita aos processos erosivos que ocorrem aqui, nosso satélite é a melhor evidência de impactos violentos periódicos. E tais evidências, de fato, existem.

     A hipotética companheira do sol foi sugerida pela primeira vez em 1985 por Whitmire e Matese, que a batizaram de Nêmesis, a deusa da vingança. Seria até mesmo possível que esta "estrela da morte" já estivesse presente em algum catálogo estelar, sem que ninguém tivesse notado algo incomum.

     Entre os defensores da existência de Nêmesis estão geólogos que apostam que a cada 26 ou 30 milhões de anos ocorrem extinções em massa da vida na Terra, paralelamente ao surgimento de uma grande cratera de impacto (ou várias delas).
     Registros geológicos de fato indicam uma enorme cratera de impacto no mar do Caribe, com 65 milhões de anos, do final do período cretáceo, coincidindo com o fim do reinado dos dinossauros
     Esse evento teria aberto caminho para que nossos antepassados mamíferos tomassem conta do planeta e nossa própria espécie pudesse evoluir. Um ou mais cometas teria atingido a Terra, argumentam, envolvendo-a numa nuvem de poeira durante meses.
     Ainda em apoio à hipótese Nêmesis, os dados enviados pelo satélite IRAS (Infra-Red Astronomical Satellite), que permaneceu 10 meses em órbita no ano de 1983, revelaram um número altíssimo de objetos celestes até então desconhecido, muitos dos quais mudaram de posição nesse curto período de tempo, indicando que estavam relativamente próximos.
     As características físicas e orbitais de Nêmesis justificariam o fato dela ainda não ter sido descoberta. Embora os mesmos dados do IRAS revisados e analisados com mais profundidade, além de observações mais recentes, parecem contestar a existência de qualquer objeto celeste que possa se enquadrar como Nêmesis.
     Para Richard A. Muller, da Universidade da Califórnia, Nêmesis poderia ser uma estrela anã vermelha, muito comum em nossa galáxia – e seria visível através de um binóculo ou pequenos telescópios! Como? Há cerca de 3.000 estrelas desse tipo já catalogadas, mas suas distâncias não são conhecidas.
     Muller acredita que a órbita de Nêmesis varia entre 1 e 3 anos-luz em torno do Sol (a estrela conhecida mais próxima é Proxima Centauri a 4,25 anos-luz). Assim mesmo a órbita de Nêmesis não seria usual, afirma Muller.
     Também existem astrônomos que pensam que a órbita sugerida para Nêmesis seria demasiado instável para permitir que a estrela regressasse tantas vezes. Eles crêem que a estrela da morte, se algum dia chegou a existir, deve ter desaparecido no espaço profundo há muito tempo ou foi despedaçada pelo Sol.
     Há geólogos que afirmam que o surgimento regular de vulcões poderia imergir a Terra em meses de escuridão, levando a extinção de muitas espécies. A respeito de Nêmesis, um paleontólogo, Dewey McLean, chegou a declarar que "a ciência enlouquecera de vez".
     No início de 2005, Varun Bhalerao e M. N. Vahia (do Instituto de Tecnologia da Índia) mostraram que nenhuma anã-vermelha companheira do Sol poderia existir num raio de 25 mil Unidades Astronômicas ou já teria sido descoberta. Também não há nenhuma estrela anã-marrom com várias massas de Júpiter.
     A hipótese de uma Nêmesis parece cada vez mais remota.

     Fonte: Zenite

Gigante da Ciência: Nicolau Copérnico

Nicolau Copérnico (1473-1543)

     Nasceu em Thorn, na Polônia, em 19 de fevereiro de 1473. Nicolau Copérnico é considerado o fundador da Astronomia moderna e pai da teoria Héliocêntrica. Era filho de um próspero comerciante também chamado Nicolau e de Bárbara. Seu pai morre quando tinha somente 10 anos de idade, e Copérnico vai morar com o tio. Aos 19 anos ingressa na Universidade de Cracóvia, famosa na época pelos currículos de Astronomia, Matemática e Filosofia. Esteve na Itália, em várias universidades, onde manteve contato com os cientistas mais notáveis.

     A teoria do universo geocêntrico (ou antropocêntrico) é o modelo cosmológico mais antigo. Na Antiguidade era raro quem discordasse dessa visão. Entre os filósofos que defendiam esta teoria, o mais conhecido era Aristóteles. Foi o matemático e astrônomo grego Claudius Ptolomeu (83-161 d.C.) quem, na sua obra "Almagesto", deu a forma final a esta teoria, que se baseia na hipótese de que a Terra estaria parada no centro do Universo com os corpos celestes, inclusive o Sol, girando ao seu redor. Essa era a teoria vigente na época de Copérnico mas haviam outras teorias, como a geo-heliocêntrica de Tycho Brahe (onde a terra fica parada no centro do sistema solar, o sol girando em volta da terra e os demais planetas girando em torno do sol) e a própria teoria heliocêntrica já tinha sido criada por Aristarco de Samos (310 - 320 a.C.).

     Copérnico costumava trabalhar sozinho, observando o céu a olho nu (a luneta astronômica só seria inventada um século mais tarde). Em 1530, já se dedicando inteiramente a Astronomia, termina sua grande obra, De revolutionibus orbium coelestium (Sobre as revoluções das esferas celestes), onde afirma que a Terra gira em torno de seu próprio eixo uma vez por dia e viaja ao redor do Sol uma vez por ano. De revolutionibus orbium coelestium foi publicada somente 30 anos após ser escrita, no ano da morte do próprio Copérnico, que nunca tomou conhecimento da grande controvérsia que havia ajudado a criar. Conta a história que ele faleceu uma hora depois de por as mãos no primeiro exemplar de seu livro, em 24 de maio de 1543.

      No tempo de Copérnico, papas, imperadores e o povo em geral tinham como certo que a Terra estava absolutamente parada no centro do Universo, e ao nosso redor desfilavam todos os corpos celestes. Também não eram poucos os que acreditavam que a Terra era chata. E desafiar tais crenças poderia ser considerado heresia. O movimento da Terra era negado pelos partidários de Aristóteles e Ptolomeu. Eles tinham que, caso a Terra se movesse, as nuvens, os pássaros no ar ou os objetos em queda livre seriam deixados para trás. Galileu combateu essa ideia, afirmando que, se uma pedra fosse abandonada do alto do mastro de um navio, um observador a bordo sempre a veria cair em linha reta, na vertical. E, baseado nisso, nunca poderia dizer se a embarcação estava em movimento ou não. Caso o barco se movesse um observador a margem veria a pedra descrever uma curva descendente – porque, enquanto cai, ela acompanha o deslocamento horizontal do navio. Tanto um observador quanto o outro constataria que a pedra chega ao convés exatamente no mesmo lugar: O pé do mastro. Pois ela não é deixada para trás quando o barco se desloca. Da mesma forma, se fosse abandonada do alto de uma torre, a pedra cairia sempre ao pé da mesma – quer a Terra se mova ou não.

     O sistema de Copérnico, embora revolucionário para a época, também sofria sérias imperfeições. Uma delas era supor as órbitas dos planetas rigorosamente circulares.  Mas, seus dados foram corrigidos pelas observações de Tycho Brahe. Com base nelas e em seus próprios cálculos, Johannes Kepler reformou radicalmente o modelo copernicano e chegou a uma descrição realista do sistema solar (com órbitas elípticas). Sem dúvida, seu grande mérito foi a defesa e desenvolvimento do heliocêntrismo durante boa parte da vida. Ele também explicou a origem dos equinócios corretamente, através da vagarosa mudança da posição do eixo rotacional da Terra. Ele também deu uma clara explicação da causa das estações: O eixo de rotação da terra não é perpendicular ao plano de sua órbita. 

     Da sua publicação, até aproximadamente 1700, poucos astrônomos foram convencidos pelo sistema de Copérnico, apesar da grande circulação de seu livro (aproximadamente 500 cópias da primeira e segunda edições, o que é uma quantidade grande para os padrões científicos da época). Entretanto, muitos astrônomos aceitaram partes de sua teoria, e seu modelo influenciou muitos cientistas renomados que viriam a fazer parte da história, como Galileu, Kepler (que conseguiram assimilar a teoria e melhorá-la), Newton e mais recentemente Albert Einstein.. As observações de Galileu das fases de Vênus produziram a primeira evidência observacional da teoria de Copérnico. Além disso, as observações de Galileu das luas de Júpiter provaram que o sistema solar contém corpos que não orbitavam a Terra.

Feynman e o Psiquiatra

Richard Feynman ganhador do prêmio Nobel de física em 1965 foi obrigado a fazer um exame médico para o exército. Segue parte do diálogo dele com o psiquiatra.

Psiquiatra: Quanto você valoriza a vida?
Feynman: Sessenta e quatro
P: Por que você disse sessenta e quatro?
F: Como você espera que se meça o valor da vida?
P: Não! Eu quero dizer, por que você falou "sessenta e quatro" e não "setenta e três", por exemplo?
F: Se eu tivesse dito "setenta e três", você faria a mesma pergunta!

Fonte: livro Dever ser Brincadeira Sr. Feynman