Provando que √2, é irracional

Bom doidinhos,

Hoje tentarei provar que raíz quadrada de 2 (√2)  é um número irracional.

Primeiramente vamos relembrar oque são número irracionais. Segue então a definição do Sr. Wiki:

"Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo I."

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Número_irracional

Lembrando então que temos os números inteiros representados por Z={1,2,3,4...}, temos também os números racionais, que são representados como razão (divisão) de números inteiros representados por Q={1/2,2/3,7/9...}, os números irracionais que não podem ser representados por uma razão irredutível entre dois números inteiros. Os números irracionais são muitos, e os mais famosos são pi (π), o número de Euler (e) e a raiz quadrada de 2 (√2). Então o número 0,666... é racional, pois pode ser representado como razão de 2 números inteiros, 2/3=0,6666... , mas o número pi, que é 3,1415... não pode ser representado por nenhuma divisão de inteiros.

Os números racionais tem uma participação de amor e ódio na história da matemática. Pitágoras foi um matemática e filósofo grego, nascido na ilha de Samos em 570 a.C. e morto em 497 a.C. Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica. Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas. 

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. O princípio essencial de que são compostas todas as coisas, é o número, ou seja, as relações matemáticas. Os pitagóricos, não distinguindo ainda bem forma, lei e matéria, substância das coisas, consideraram o número como sendo a união de um e outro elemento. Da racional concepção de que tudo é regulado segundo relações numéricas, passa-se à visão fantástica de que o número seja a essência das coisas.

A primitiva concepção pitagórica de número apresentava limitações que logo exigiriam dos próprios pitagóricos tentativas de reformulação. O principal impasse enfrentado por essa aritmo-geometria baseada em inteiros (já que as unidades seriam indivisíveis) foi o levantado pelo números irracionais.Para os pitagóricos, o números irracionais era uma aberração, que destruía a harmonia dos números do cosmos. Por isso, durante muitos anos os pitagóricos esconderam e negaram e existência dos números irracionais. Até que Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.

Mas agora vamos ao que interessa:  √2, é irracional?

Como podemos provar?

Para conseguirmos essa prova, usaremos um tipo de argumentação lógica chamada Redução ao Absurdo ou Prova por Contradição, que é uma técnica que usa uma argumentação contraditória chegando a um resultado absurdo,ou seja, provar que o oposto (do argumento inicial) não é possível. Sendo assim provaremos que √2 é irracional, provando que não pode ser um número racional(absurdo). 
Então iniciaremos supondo que se raiz quadrada de 2 é racional então pode ser representado por uma fração:

√2 = a / b

elevando os 2 lados da expressão ao quadrado, nos livramos da raiz e sobra:

2 = a² / b²

então passando b² para o outro lado da expressão fica:

a² = 2b²

então sabemos que a é um numero par, pois qualquer número multiplicado por 2 é par. Como raízes quadradas de números ímpares são ímpar e de pares são par, temos então que a é par. Assumiremos então que a é o dobro de um numero qualquer, por exemplo, de c, então:

a = 2c

subistituindo na equção:

(2c)² = 2b²

4c² = 2b²

2c² = b²

pelos mesmos argumentos demostrados anteriormente, chegaremos a conclusão que b também é par. 

Então se raiz quadrada de dois fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível. Isto é um absurdo e, portanto √2 é irracional.

E tenho dito!!!!