Matemática e Música - Um passeio numérico através dos sons

"A música é uma ciência que necessita possuir um estatuto definido. Suas regras devem ser extraídas de um princípio claro, inconcebível sem o auxilio da matemática. Apesar de toda a experiência que eu posa ter em música por associar-me a ela por tanto tempo, devo confessar que somente com auxílio ma matemática, minhas idéias tornaram-se claras e a luz substituiu uma escuridão da qual eu não estava ciente." 

              Rameau, 1722


     A relação entre a música e a matemática é muita antiga. Na Grécia antiga, com as experiências de sábios como Pitágoras e Arquitas, até os séculos XVIII, com cientistas musicais tais como Saveur, Rameau, Daniel Bernoulli, Euler, Ohm, Fourier e Helmholtz, fortes contribuintes na explicação racional de fenômenos matemático-musicais como o Temperamento e Séries Harmônicas. Embora essa relação provavelmente fosse conhecida superficialmente antes dos pitagóricos, estes foram os primeiros a registrar e explorar essa relação. Os pitagóricos foram os únicos até Aristóteles a fundamentar cientificamente a música, começando  a desenvolvê-la e tornando-se aqueles mais preocupados por este assunto. Como principais teóricos musicais dessa escola são Pitágoras e Filolaus no período pré-clássico e Arquitas, Aristoxeno e Aristóteles no período clássico.
     Provavelmente inventado por Pitágoras, o monocórdio é um instrumento composto por uma única corda (berimbau???) estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa possuindo ainda um cavalete móvel colocado sob a corda para dividi-la em dois. A princípio, seus experimentos evidenciavam relações entre comprimento da corda estendida e a altura musical do som emitido quando tocada (não confundir altura musical com altura do volume - altura musical é a variação entre altura dos sons graves, com frequência baixa e sons agudos, com frequência alta; e altura de volume é a variação da amplitude da onda, variando entre volume baixo e volume alto). Pitágoras buscava relações de comprimentos - razões de números inteiros - que produzissem determinados intervalos sonoros. Em seu experimento, observou que pressionando um ponto situado a 3/4 do comprimento da corda em relação a sua extremidade e tocando a corda ouvia-se uma quarta acima do tom emitido pela corda inteira. Analogamente, exercida a pressão a 2/3 do tamanho ouvia-se uma quinta acima e a 1/2 obitinha-se a oitava do som original.
     A descoberta da relação entre razão de números inteiros (1/2, 2/3 e 3/4) e tons musicais mostrou-se significativa naquela ocasião, gerando uma dúvida fundamental para o pensador de Samos: Por que as consonâncias musicais subjazem razões de pequenos números inteiros? Qual a causa e qual o efeito? Pitágoras justificou a subjacência de pequenos números inteiros às consonâncias pelo fato de que os números 1, 2, 3 e 4, envolvidos nas frações mencionadas, geravam toda a perfeição. Os pitagóricos consideravam o número quatro (primeiro quadrado par) origem de todo o universo, representando a matéria em quatro elementos. Com essas razões, poderíamos por exemplo, partindo de um fá e subindo uma quinta (2/3) obteremos um dó, que por sua vez subindo outra quinta teremos um sol, repetindo teremos um ré (oitava acima), seguido de lá, mi e si, formando a sequência fá, dó, sol, ré, lá, mi e si, e remanejando apresenta-se dó, ré, mi, fá sol, lá e si. Tal relação de comprimentos 2/3 chama-se gama pitagórica. Assim obtém-se as relações 8/9 com ré, 16/27 com lá, 64/81 com mi e 128/243 com si, formando os intervalos de tom, tom, semitom, tom, tom, tom e semitom temperados. Partindo da nota dó e construindo a escala pelo percurso de quintas, o ciclos fecha-se formando a sequência dó, sol, ré, lá, mi, si, fá#, dó#, sol#, ré#, lá#, fá e dó. Porém estas notas correspondem, na gama temperada, a aproximações dos sons de fato alcançados.
     Um dos mais importantes teóricos musicais do período clássico, Arquitas de Tarento (430-360 a.C.) colaborou de maneira significativa não somente para o desenvolvimento da música mas para o desvendar de seus fundamentos racionais. Escreveu trabalhos científicos relacionados ao cálculos de intervalos musicais e proporções musicais. Entre suas contribuições, há evidências que possivelmente modificou a antiga denominação da média subcontrária para média harmônica, provavelmente pelo fato do comprimento relativo ao intervalo de quinta (2/3), de grande valor harmônico para os gregos, ser a média subcontrária entre o comprimento da corda solta e aquele correspondente à oitava, intervalo consonante fundamental. Arquitas também foi o primeiro pensador a associar altura musical à frequência pela comparação de sons emitidos por ventos fortes e fracos e deslocando o foco de atenções da fonte de emissão de som para o ar, antecipando em 2000 anos o estudo da Acústica (propriedades física do som) por parte de Galileu no séc. XVII.
     O renascimento teve um profundo papel no estudo da Música com ciência, seguido de alguns aprofundamentos importantes neste período na compreensão das idéias de Série Harmônica e Temperamento. Na parte musical o Renascimento caracteriza-se pela evolução da polifonia - superposição de melodias - e consequentemente desenvolvimento da harmonia. Caracterizada por processos de matematização, experimentação e mecanização, a Revolução Científica nos séc XVI e XVII propiciou a emergência de interpretações e argumentações inovadoras. Realizando trabalhos matemáticos concernentes a esta área em seu tratado Música Teórica, Ludovico Fogliane (1470-1539) forneceu subsídios para que Gioseffe Zarlino (1517-1590) organizasse em sua obra Inztituzioni Armonique (1558) a base científico-cultural em toda Europa durante dois séculos. Modificando substancialmente a concepção pitagórica, Galileu Galilei escreveu em 1638 que nem o comprimento, nem a tensão e nem a densidade linear de cordas apresentava-se como razão direta e imediata subjacente a intervalos musicais, mas razões dos números de vibrações e impactos de ondas sonoras que atingiam o tímpano. Considerando o som que alcaçava o ouvido invés do objeto vibrante que produzia, Galileu verificou que a altura musical relacionava-se diretamente à frequência registrando rastros de arranhões desenhados numa placa metálica provenientes de uma haste vibrante solidária a uma membrana que recebia vibrações sonoras. A percepção por parte de Galileu no séc. XVII de que a sensação de altura musical relaciona-se diretamente ao conceito de frequência marca o início da física da música em sua concepção atual.
     O padre e matemático francês Marin Mersenne (1588-1648) que apresenta-se como primeiro teórico a fundamentar o estudo de harmonia no fenômeno da ressonância. Trocando correpondência assídua com René Descartes (1596-1650) Mersenne discutiu problemas e aspectos pouco claros do Compendium Musicae escrito pelo filósofo francês em 1618.Constatando a possibilidade de acompanhar visualmente  os movimentos vibratórios das cordas, o matemática francês utilizava o próprio pulso com intuito de marcar o tempo necessário para completar um determinado número de ciclos. Variando os comprimentos e tensões, Mersenne verificou empiricamente que para frequências visualizáveis, a vibração de um fio esticado era inversamente proporcional ao comprimento da corda se sua tensão fosse constante; diretamente proporcional à raiz quadrada da tensão  se o comprimento fosse constante e inversamente  proporcional à raiz quadrada da massa por unidade de comprimento, para fios diferentes de mesmo comprimento e tensão, chegando na fórmula descrita:
onde f é a frequência, l o comprimento da corda, n uma constante inteira, T a tensão que a corda encontra-se sujeita e p a densidade linear da corda. A partir de tal descoberta, a natureza das consonâncias é retomada à luz das leis de corpos vibrantes. A fórmula citada implica em reorganizações de Mersenne a respeito de médias harmônicas e aritméticas em música. Para o matemático francês, a média aritmética possuía caráter superior à harmônica, pois tomando números proporcionais às vibrações - causas primeiras do som - a quinta na posição inferior resultava na média aritmética dos números que caracterizam a oitava.
     O matemático, astrônomo e filósofo nascido em Wiel, Johannes Kepler (1571-1630) apresentou, além de preciosos legados em física tais como as leis dos movimentos dos planetas, fortes subsídios para a ciência musical. Com o falecimento de Tycho Brahe em 1601, Kepler assumiu seu posto trabalhando na organização de calendários e na predição de eclipses como matemático e astrônomo da corte do imperador Rudolfo II em Praga até 1612, estabelecendo-se mais tarde em Linz, onde concluiu e publicou seu Harmonices Mundi em 1619. Principal contribuição do astrônomo alemão à teoria musical, essa obra compõe-se de 5 livros - os dois primeiros relacionam a origem das 7 harmonias com arquétipos inerentes à geometria e à Deus; o livro 3 apresenta um tratado sobre consonância e dissonância, intervalos, modos, melodia e notação; o livro 4 discorre sobre astrologia enquanto o volume 5 aborda a Harmonia das Esferas. O cientista alemão verificou empiricamente a existência de oito consonâncias: uníssono (1/1), oitava (1/2), quinta (2/3), quarta (3/4), terça maior (4/5), terça menor (5/6), sexta maior (3/5) e sexta menor (5/8). Dentre suas contribuições em música, Kepler defendia a existência de escalas musicais peculiares a cada planeta, que soavam como se estes cantassem simples melodias, relacionando para isso velocidades dos planetas às frequências emitidas.
     O compositor e teórico francês, Jean Philippe Rameau (1683-1764) iniciou seus estudos com seu pai que era organista profissional, frequentando durante a infância uma escola de jesuítas e cumprindo mais tarde um pequeno período de estudos na Itália. Em 1702, tornou-se maitre de musique da Catedral de Avignon, transferindo-se nesse mesmo ano para Catedral de Clermont e tornando-se em 1706 organista do colégio jesuíta em Paris. Em 1722, supervisionou a publicação do seu Traité de l'Harmonie, obra em que apresenta uma nova teoria sobre relação entre o baixo e a harmonia, baseada em suas concepções das propriedades físicas do som.
     O Traité de l'Harmonie compõe-se de 4 livros. O primeiro discorre sobre a relação entre relações harmônicas e proporções, o segundo  trata da natureza e propriedades dos acordes e tudo que pode ser utilizado para se atingir a música perfeita, o terceiro e quarto livros estabelecem respectivamente  princípios para composição e acompanhamento musicais. Somente o primeiro livro possui uma abordagem da música à luz da ciência. Segundo Rameau, a música é a ciência dos sons, portanto o som é principal matéria da música. Dividindo esta arte/ciência em harmonia e melodia, o teórico francês subordinou esta última à primeira, admitindo  que o conhecimento de harmonia é suficiente para a compreensão completa das propriedades da música. Estabelecendo uma relação biunívoca entre som e tamanho da corda, o teórico afirmou que cada corda contém em si mesma todas as outras menores que elas, mas não aquelas que são maiores; portanto os sons agudos estão contidos em sons graves, porém os sons graves não estão contidos nos agudos.
     Assim como Zarlino e Descartes, Rameau obteve os intervalos consonantes dividindo a corda em até 6 partes, afirmando que às consonâncias, subjaziam números consecutivos e que a ordem de tais números determinava a ordem e perfeição  das consonâncias. Segundo tal critério, a oitava - 1:2 possuia caráter mais consonante que a quinta - 2:3 - que por sua vez, apresentava-se mais consonante que a quarta - 3:4 - e assim por diante. Esta afirmação de Rameau mostrava-se ineficaz, uma vez que a sexta maior - 3:5 - além de não ser produzida por números consecutivos, não precedia a terça maior - 4:5 - nem a terça menor - 5:6.

     Segue abaixo a tabela dos intervalos músicais e as razões matemáticas:

Intervalo                 - Razão        - Nota (considerando Dó como a corda inteira)
Primeira justa         - 1 Corda     - Dó
Segunda menor      - 128/135     - Dó# ou Réb
Segunda maior       - 8/9             - Ré
Terça menor           - 5/6             - Ré# ou Mib
Terça maior            - 4/5             - Mi
Quarta justa            - 3/4             - Fá
Quarta aumentada  - 32/45         - Fá# ou Solb
Quinta justa            - 2/3             - Sol
Sexta menor           - 5/8             - Sol# ou Láb
Sexta maior            - 16/27         - Lá
Sétima menor         - 5/9             - Lá# ou Sib
Sétima maior          - 8/15           - Si
Oitava justa            - 1/2             - Dó (1 oitava acima)

Selos Postais de Matemática

Olá Pironautas. Lendo o livro A História da Matemática de Howard Eves, me deparei com uma curiosidade:

     Em 1971 a Nicarágua lançou uma série de selos postais para homenagear as "dez fórmulas matemáticas mais importantes do mundo". Casa selo estampa uma fórmula particular acompanhada de uma ilustração e traz também um comentário breve em espanhol sobre a importância da fórmula. Deve ser extremamente gratificante para cientistas e matemáticos ver suas fórmula assim homenageadas, pois essas fórmulas certamente contribuíram muito mais para o desenvolvimento da humanidade do que os feitos de reis e generais que muitas vezes estampam selos postais.

         O livro não vai a fundo a respeito dos selos, então resolvi fazer uma busca rápida na net pra ver se encontrava algo, então vou contar um pouco sobre esses selo, em ordem cronológica.

     O primeiro selo mostra a fórmula matemática fundamental da contagem 1 + 1 = 2. Apesar de ser muito simples, essa fórmula tem muita importância, pois foi quando os primeiros humanos conseguiram abstrair as quantidades de objetos e criar os primeiros números, independente de objetos relacionados, e iniciou-se a matemática. É difícil dizer exatamente onde e quando iniciou a matemática, entretanto quando os primeiro homens começaram a praticar a agricultura e pecuária surgiu a necessidade de dividir trabalho, terra e produção, e por consequência a matemática. A ideia do selo mostra um homem que parece ser um egípcio que, ao ver dois pássaros voando realiza a contagem em seus dedos e registra esse valor em sua memória. Esse primeiro passo iniciou o desenvolvimento da humanidade, e a partir de então os homens começaram a contar os dias do anos, prever as estações para plantio, começaram a observar as estrelas, construir edifícios, monumentos e templos.

    O segundo selo é a famosa fórmula de Pitágoras a² + b² = c².
Embora essa fórmula seja atribuída à Pitágoras não foi ele quem descobriu esse teorema, babilônios e egípcios já tinham conhecimento dela 1000 anos antes. Os egípcios usavam essa fórmula para calcular distância à navios no mar e altura de construções. Pitágoras (586 - 500 a.C) foi fortemente influenciado pelas ideias de Tales de Mileto (640 - 564 a.C.) considero o "Pai da Matemática". Ele fundou a Escola Pitagórica, e foram os primeiros a produzirem deduções razoavelmente dedutíveis. O selo mostra a entrada da Biblioteca de Alexandria (que foi construida depois de Pitágoras), um compasso (instrumento comum de um matemático da época) e o famosa fórmula do Teorema de Pitágoras.

    O terceiro selo é a homenagem ao maior matemático da história, o grego Arquimedes e a Lei das Alavancas. Famoso por sua frase "Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo", teve muitas outras contribuições para matemática, foi o primeiro a calcular com precisão a área do circulo usando o Método de Exaustão encontrando uma aproximação bastante próxima do número π, e realizou cálculos infinitesimais impressionantes, que só seriam igualados 1000 anos depois por Isaac Newton e Gotfried Liebniz. Arquimedes também contribuiu para a Hidrostática, chegando a Fórmula do Empuxo. Na estampa do selo há uma balança de pesagem, uma bacia com um líquido derramando e sua famosa Equação das Alavancas F₁x ₁ = F₂x₂, que é a base de toda engenharia moderna, usada para desenhar os engenhos e estruturas de pontes e prédios.

    O selo número quatro mostra a contribuições dos Logaritmos de John Napier (1550 - 1617). O logaritmo é uma ferramenta matemática muito importante, pois facilita muitos cálculos transformando complicadas operações de multiplicação e divisão em simples soma ou subtração. A maravilhosa invenção de Napier foi entusiasticamente adotada por toda Europa, o impacto do logaritmo na astronomia e navegação é comparado com a revolução dos computadores de hoje. Na astronomia, em particular, já estava passando da hora para essa descoberta; pois, como afirmou LaPlace, a invenção dos logaritmos "ao diminuir o trabalho, dobrou a vida dos astrônomos". Na figura do selo temos um sextante astronômico e a Lei de Napier.

    E no quinto selo temos a Teoria da Gravitação de Isaac Newton. O grande gênio da matemática e da física, nos deixou um imenso legado como os estudos sobre dinâmica, hidrodinâmica, gravitação, curvas cúbicas, séries, além do cálculo infinitesimal e integral. Antes deles as pessoas tenham pouca ideia sobre a "força" que suporta os planetas em órbita ao sol e a Lua em volta à Terra. Newton mostrou que todo corpo é atraídos por outro, e que esta força depende da massa dos corpos e da distância entre eles. Ele foi lembrado em muitos outros selos de outros países. Na figura temos a célebre maçã de Newton, os planetas dentro dela e a equação da gravitação.

    Agora não temos uma, mas sim quatro fórmulas matemáticas estampadas no sexto selo. São as Equações de Maxwell, elaboradas sobre os trabalhos de Michael Faraday, sumarizam todo o conhecimento sobre eletricidade e magnetismo. Essas equações compõe a base do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda uma revolução tecnológica iniciada no século XIX e continuada nas décadas seguintes. Na figura do selo temas uma antena transmitindo ondas eletromagnéticas e as 4 famosas Fórmulas de Maxwell. Devemos à Maxwell nossos aparelhos de comunicação à longa distância, rádio, TV, radares, raios-x e aparelhos que usam radiação eletromagnética.

     O selo número sete mostra a Lei de Boltzmann sobre Gases, também conhecida como Lei da Entropia. Elaborada pelo físico austríaco Ludwig Boltzmann, que fez importantes contribuições para a física e mecânica estatística, na qual a Constante de Boltzmann tem papel fundamental. Essa equação descreve que os gases se comportam de acordo com a constante de movimento dos átomos e moléculas. Sua grande importância está nas máquinas a vapor, reações de gases usados pela química moderna e medicina, plásticos e outras substâncias, para entender o tempo e para explicar os processos do Sol, Estrelas e Galáxias distantes. O selo mostra a reação de quatro pistões e a famosa equação da entropia S=K.logW.

     O oitavo selo foi feito em homenagem ao cientista russo Konstantin Tsiolkovsky (1857 - 1935) e mostra sua fórmula dos foguetes. Parte essencial da tecnologia espacial, esta equação implica na mudança de velocidade da espaçonave quando ela perde peso durante queima de combustível. Esta equação é derivada diretamente das três grandes Leis do Movimento de Isaac Newton, e sem elas seria praticamente impossível fazer o lançamento de satélites, sondas e espaçonaves para a Lua e planetas. Infelizmente também tornou possível a criação de mísseis de guerra. Na figura mostra a Lei de Tsiolkovski e um foguete saindo da órbita da terra.

     Provavelmente a equação mais famosa da ciência, E = mc² de Albert Einstein. Em palavras simples ela diz que uma pequena quantidade de matéria pode ser convertida em uma grande quantidade de energia. Esta equação foi publicada em 1905 em sua teoria da Relatividade Especial, ele foi o primeiro a propor que a equivalência entre massa e energia é um princípio geral que é uma consequência das simetrias do espaço e tempo. Esta energia nuclear liberada é a base da bomba atômica. A figura no selo aparece o desenho de um átomo e suas partículas envolto pelo cogumelo de uma explosão atômica.

     E no último selo temos a fórmula da matéria-onda de Louis de Broglie. No final do século XIX já era conhecido qua a luz, que era considerada uma forma de energia, poderia se comportar como matéria em algumas situações. De Broglie percebeu que algumas partículas elementares, como elétron que é matéria, também se comportam como onda, chamando de dualidade onda-matéria. Sua equação λ = h/m.v teve um grande efeito no campo da física, ótica moderna e componentes eletrônicos, como transistores, muitas aplicações em rádio, TV, computadores, naves espaciais, armas militares e poderosos microscópios. No selo mostra o desenho de um acelerador de partículas.

Lógica Matemática na Prática

No filme Shrek Terceiro há um engraçado diálogo entre o Príncipe Encantado e Pinóquio que pode ser relacionado a alguns temas estudados em lógica (modalidades, dupla negação, etc.). O vídeo deste trecho está postado abaixo, e é simplesmente genial, pois para o Pinóquio não mentir ele usa várias técnicas de lógica sem entrar em contradição.

Aqui vai a transcrição para o diálogo:

Cena: Príncipe Encantado quer encontrar Shrek e pergunta a Pinóquio onde Shrek está, pois Pinóquio não pode mentir sem que isto seja percebido pelo crescimento de seu nariz.
Príncipe Encantado: Você. Você não pode mentir. Então me diga, boneco, onde está Shrek?
Pinóquio: Uh, hmm, bem, uh, Olha eu não sei onde ele não está.
Príncipe Encantado: Você está me dizendo que você não sabe onde Shrek está?
Pinóquio: Não seria impreciso supor que eu não poderia exatamente não dizer que isso é ou não é quase parcialmente incorreto.
Príncipe Encantado:- Então você sabe onde ele está?
Pinóquio: Oh, pelo contrário. Eu estou possivelmente mais ou menos não definitivamente rejeitando a ideia de que de forma alguma com qualquer quantidade de incerteza que eu inegavelmente...
Príncipe Encantado: Pare!
Pinóquio: ...sei ou não sei onde ele não deveria provavelmente estar, se isto de fato não fosse onde ele não está. Mesmo que ele não estivesse onde eu soubesse que ele estivesse, isto significaria que eu realmente teria que saber onde ele não estava.


O diálogo original:

Prince Charming: You. You can't lie. So tell me, puppet, where is Shrek?
Pinocchio: Uh, hmm, well, uh, I don't know where he's not.
Prince Charming: You're telling me you don't know where Shrek is?
Pinocchio: It wouldn’t be inaccurate to assume that I couldn’t exactly not say that it is or isn’t almost partially incorrect.
Prince Charming:- So you do know where he is?
Pinocchio: Oh, on the contrary. I'm possibly more or less not definitely rejecting the idea that in no way with any amount of uncertainty that I undeniably...
Prince Charming: Stop it!
Pinocchio: ...do or do not know where he shouldn’t probably be, if that indeed wasn’t where he isn’t. Even if he wasn’t at where I knew he was, that’d mean I’d really have to know where he wasn't.

Desafio do Cientista Doidão!!!!

DESAFIO!!!!!
Um grupo de caçadores saiu do acampamento para caçar um urso. Caminharam uma milha para o sul, depois percorrem outra milha a oeste, encontrando um urso, que mataram. Voltaram então para o acampamento, verificando que ao todo tinham caminhado três milhas. Qual era a cor do urso?

Paralelas que se cruzam....
Bom doidões, apesar do enunciado do desafio parecer um pouco non-sense, tem sim uma solução. E para podermos entender melhor o problema, vamos ter que relembrar alguns conceitos antigos de geometria, mais especificamente os postulado de Euclides.
A primeira (e única, dependendo tua área de estudos) geometria que aprendemos no colégio é a Geometria Euclidiana. É aquela que podemos vivenciar no dia a dia. Também conhecida como Geometria Plana, ela nasceu da necessidade de medir terrenos, e traçá-los novamente após as enchentes do Nilo, de construir casa, móveis, barcos para navegar grandes distâncias.
Conforme falei na biografia de Euclides, embora ele provalmente não tenha criado nenhuma regra da geometria, ele reuniu todo conhecimento de geometria de sua época na obra Os Elementos, que foi tão importate que a geometria recebeu seu nome. Alguns dos postulados mais importantes de suas obra são:
-Uma linha reta pode ser traçada de um ponto qualquer a outro ponto qualquer
-Um círculo pode ser traçado com centro e raio qualquer
-Todos os ângulos retos são iguais
e os postulados mais significativos são o segundo e o quinto:
2º-Um seguimento de reta finito pode ser prolongado indefinidamente para se tornar uma reta infinita
5º-Dado uma reta e um ponto, pode-se traçar somente uma reta que passa pelo ponto e é paralela à reta dada
Os dois últimos postulados são de extrema importância para este post.

Na geometria eculidiana, a soma de ângulos internos dos triângulo sempre dá 180°, e quando temos um triângulo-retângulo podemos usar o teorema de Pitágoras, que diz a² + b² = c². Se pegarmos o percurso feito pelos caçadores do enunciado do desafio, teremos um triângulo-retângulo de com todos lados 1, oque contradiz o teorema de pitágoras. Se camanharam na ida, 1km ao sul, e mais 1 km a oeste, na volta teriam que obrigatoriamente fazer √2, pois pelo teorema 1² + 1² = (√2)².

A geometria Euclidiana funcionava muito bem em superfícies planas. Ora pois, a geometria Euclidiana é uma Geometria Plana.
Então como podemos definir situações geométricas sobra uma superfície curva? Certamente a geometria Euclidiana não é satisfatória. Mas se a Terra é uma esfera, como a geometria de Euclides funcionou na Terra por mais de 2000 anos??? Ocorre que localmente, podemos considerar a superfície da Terra como plana. Entretando quando trabalhamos com grandes distâncias sobra a superfície da terra a geometria de Euclides não funciona.

Para desenvolver uma geometria de espaço curvo foi necessária a colaboração de grandes mentes que marcaram a história da matemática. Entre eles podemos citar Gauss, Bolyai, Lobachevski e Riemann (que não é irmão da She-ha). Só que o preço pago por alguns desses matemáticos foi absurdamente alto. A hostilidade despertada a essas idéias fez com que esses matemáticos fosses duramente rejeitados pode seus colegas e público.

Nada Como o Senso Comum....
A tendência de julgar o mundo  natural em termos do senso comum tem nos levado a acreditar que o Sol realmente nasce e se põe, que as estrelas giram em torno da Terra, que a Terra é plana eo centro do universo. Todas estas crenças antropocêntricas são resistentes, mas nenhuma é tanto como a de que o universo será uma mera extensão do ambiente terreste. Até o início do século XIX acreditava-se que as leis da geometria Euclidiana eram válidas em qualquer região do universo exatamente como na terra.
Em 1924 apareceram outras geometrias além da de Euclides, igualmente válidas, mas descrever universos acentuadamente diferentes. Com essa descoberta abriu-se também a hipótese de o nosso universo não ser euclidiano, mas corresponder a alguma das novas geometrias.
Johann Carl Friederich Gauss foi o mais eminente matemático de sua época. Aos 7 anos de idade, na escola, Gauss mostrou seu potencial matemático ao demonstrar quase imediatamente a seus professores a soma dos números inteiros de de 1 a 100, notando que a soma total seria igual à soma de 50 pares, os 100 + 1 = 101, 99 + 2 =101, 98 + 3 =101 e assim por diante.
Em 1924 Carl Gaus recebeu uma carta de seu antigo colega Farkas Bolyai, pedindo que apreciasse um manuscrito de seu filho Janos. Janos substituiu o quinto postulado por outro aparentemente contrário ao senso comum: "Dado uma reta e um ponto, pode-se traçar INFINITAS retas que passa pelo ponto e  paralela à reta dada". Com este enunciado e os restantes dos postulado, Janos Deduziu teoremas diferentes da geometria de Euclides, mas lógicamente bem fundamentados.
Gauss leu o manuscrito com interesse e uma sensação de familiaridade, porque ele próprio fizera as mesmas descobertas anos antes, oque revelou numa carta ao pai de Bolyai, mas se calara com receio do desagrado que provavelmente provocaria entre colegas. Em 1832, o matemático russo Nikolaus Lobatchevski fez independentemente a mesma descoberta de Janos e Gauss. O interesse de Lobatchevski na geometria não-euclidiana fez com que ele fosse visto na Rússia como uma "pessoa excêntrica", para usarmos um termo delicado. Ele foi atacado em um artigo humilhante e ignorante, e os membros distintos da comunidade de matemáticos russo faziam zombarias e comentarios rudes sobre ele. Naquele tempo a geometria de Euclides era reverenciada como uma Bíblia e a descoberta de outra geometria seria como descobrir uma segunda Bíblia que divergisse profundamente do cristianismo.
Em 1954 o matemática Benhard Riemann criou uma terceira geometria, que difere da de Euclides no 2° e 5º postulado, que tem os seguiente enunciados: "Um seguimento de reta finito NÃO pode ser prolongado indefinidamente para se tornar uma reta infinita" e "Dado uma reta e um ponto, NÃO pode-se traçar nenhuma reta que passa pelo ponto e paralela à reta dada".

O mundo descrito pela geometria de Gauss/Janos/Lobatchevski é como a superfície de uma sela de cavalo, com curvatura negativa. Dá-se o nome de pseudo-esfera, mas não se assemelha a uma esfera. Num universo assim, haveria infinitas retas paralelas que passam por um ponto, e a soma dos ângulos internos de um triângulo seria menos que 180º. O mundo de Reimann é uma esfera e as retas corresponde a arcos de círculos, com curvatura positiva. Nesse mundo  nenhuma reta poderia ser prolongada infinitamente, as paralelas sempre se cruzam e as somas dos ângulos internos seriam maior que 180º.
 Se um cartógrafo equipado comos mais modernos instrumentos, percorre 100km em três direções: sul, oeste e norte. O leitor naturalmente apostará que, se o cartógrafo  em seguida percorrer 100 km para leste, terminará o passeio exatamente no ponto de partida, fechando umm quadrado de 100 km de lado. Porém a verdade é que na última etapa do percurso, chegará ao ponto de partidaantes dos 100 km, digamos quando tiver percorrido 98 km. Oque aconteceu? O ponto de partida saiu do lugar? Ou o instrumento de medida do percurso está avariado?

 Oque aconteceu é que o senso comum nos enganou, levando-nos a pensar que as quatros direções cardiais são, numa superfície esférica, perpendiculares entre si, como em uma superfície plana. O cartógrafo não percorreu um quadrado perfeito porque a Terra é uma esfere, e sua geometria é riemanniana, não euclidiana. O cartógrafo iniciou o trajeto em algum lugar no norte, caminhou primeiramente em direção sul ao longe de um meridiano, depois para oeste ao longo de um paralelo, e depois para norte ao longo de outro meridiano, ficando ao final mais perto do ponto de partida, porque os meridianos convergem para os polos.


Bom, agora podemos agora responder o desafio do início: o uso era branco porque o trajeto triangular percorrido pelos caçadores só fará sentido se o ponto de partida estiver no Pólo Norte.

Como Euler "provou" a existência de Deus

L. Euler (1707-1783)

Estava fazendo um post sobre religião, e comecei a ler um livro que tem a introdução que transcrevi abaixo, apesar do foco do livro não ser a discusão religiosa.  Como ainda deve demorar pra terminar o post sobre religião, resolvi fazer este em separado.

"... no dia em que o grande matemático alemão Leonhard Euler encontrou-se com o eminente intelectual francês Denis Diderot, ateu convicto, a quem apresentou uma prova matemática, espúria, da existência de Deus. Segundo parece, Euler aceitara um convite de Diderot, que ao tempo se encontrava na corte do czar russo. No dia da sua chegada, Euler procurou Diderot e proclamou: 'Monsieur, (a+bⁿ)/n=X, donc Dieu existe; répondez!' (Cavalheiro, (a+bⁿ)/n=X, portanto, Deus existe. Responda!) Anteriormente, Diderot tinha já eloquente e vigorosamente refutado numerosos argumentos filosóficos para a existência de Deus, mas neste momento, incapaz de compreender o significado da equação matemática, que Euler lhe apresentara, sentiu-se intimidado e não proferiu palavra."

Livro: "Pontes para o infinito. O lado humano das matemáticas", de Micheal Guillen,  ed. Gradiva (1987), pág. 9-10.

O trecho que copiei acima não serve para mostrar a existência Deus, porque a matemática não trata de provar ou negar a existência de objetos reais, mas serve para ilustrar o que pode fazer o medo e a ignorância da matemática: perder uma discussão.

Google

Gugol (google ou googol) é o número 10¹ºº, ou seja, 1 seguido de 100 zeros.

Esse nome surgiu quando em certa ocasião, o matemático americano Edward Kasner, em 1938, perguntou ao seu sobrinho de 9 anos, Milton Sirotta, qual era o maior número que existia. A resposta do menino (algo como guuugol) não foi muito animadora, mas na mente de Kasner isso virou uma bela brincadeira. Em homenagem ao sobrinho, ele chamou de gugol ("googol", em inglês) o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra forma, o número 10 elevado a 100.

Edward Kasner apresentou o googol em seu livro "Matemática e Imaginação". O googol é "aproximadamente" igual ao 70! (fatorial de 70). No sistema binário, seriam necessários 333 bits para representá-lo.

Em seguida, usou o gugol como base para denominar um número ainda maior: o gugolplex, que equivale a "10 elevado a 1 gugol". Imagine quantas folhas de papel seriam necessárias para escrever o número gugolplex por entenso.

Também existe as figuras geométrica gugólgono e gugoledro. Gugólgono é uma polígono com um gugol de lados e o gugoledro é um poliédro com um gugol de faces.

Geometria

     Há 2.400 anos, um grego estava de pé na orla marítima observando os navios desaparecerem na distância. Aristóteles deve ter passado muito tempo lá, observando sossegadamente o desaparecimento de muitos navios, até que finalmente foi surpreendido por um pensamento peculiar. De todos os navios, o casco parecia sumir primeiro, depois o mastro velas. Ele perguntou a si mesmo: como isso é possível? Numa terra plana, os navios deveriam diminuir por igual até que desaparecessem como um pequeníssimo e insignificante ponto. Se o casco desaparecia primeiro – Aristóteles percebeu num lampejo genial – isso é um sinal de que a terra é curva. Para observar a estrutura de nosso planeta em grande escala, Aristóteles tinha olhado através da janela da geometria.

     A humanidade pré-grega tinha noção de muitas fórmulas eficientes, truques de cálculos e de engenharia, mas eles algumas vezes realizavam surpreendentes feitos com pouca compreensão do que estavam fazendo. Eram construtores trabalhando no escuro, tateando, descobrindo o seu caminho, levantando uma estrutura aqui, colocando um piso ali, alcançando o propósito sem jamais ter alcançado a compreensão do processo. Algumas ferramentas consideradas de computação datadas de 30.000 a.C. podem muito bem ser varas decoradas por artistas com sensibilidade matemáticas intuitivas. Porém, outras são curiosamente diferentes. Nas margens do lago Edward, na atual república Democrática do Congo, arqueólogos descobriram um pequeno osso, de 8 mil anos, com uma pequeníssima pedra de quartzo presa num entalhe em uma das extremidades. O seu criador, um artista ou matemático, entalhou três colunas de cortes em um dos lados do osso. Os cientistas acreditam que esse osso, chamado de osso Ishango, provavelmente seja o mais antigo exemplo já encontrado de um dispositivo para registro numérico. O pensamento de fazer operações com números surgiu muito mais tarde, porque fazer cálculos aritméticos exige um certo grau de abstração.

      Os primeiros passos principais nesta direção foram tomados no sexto milênio a.C. quando as pessoas do vale do rio Nilo começaram a abandonar a vida nômade e a se concentrar no cultivo do vale. Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, avidam daí conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada. Roubar a terra do vizinho era considerado uma ofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinar alguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores e administradores de templos, palácios e demais unidades produtivas fundadas na agricultura não tinham referência clara do limite das suas possessões para poderem cultivá-la e pagarem os impostos devidos na medida da sua extensão aos governantes. Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, chamados de harpedonopta (que significa literalmente “um esticador de cordas”, assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos.

     Os egípcios empregavam seu conhecimento matemático para fins impressionantes. Imagine um deserto desolado varrido pelo vento, no ano de 2580 a.C. O arquiteto desenrolando um papiro com o projeto de sua estrutura. Seu trabalho era fácil: base quadrada, faces triangulares e, bem tinha que ter uns 145 metro de altura, e deveria ser feita de sólidos blocos de pedras pesando mais de 2 toneladas cada, nenhum instrumento extravagante de topógrafo à sua disposição, apenas um pouco de madeira e corda. A geometria egípcia tornou-se uma matéria bem desenvolvida. Na realização de seus levantamentos topográficos, os egípcios utilizavam os harpedonoptas. Por exemplo, se esticarmos uma corda com nós a distância de 30, 40 e 50 metros, obteremos um ângulo reto entre os lados 30 e 40 metros. (Originalmente a palavra Hipotenusa significava, em grego, “o que foi esticado contra”). Acredita-se em geral que a origem da geometria se situa no Egito, o que é natural, pois, para a construção das pirâmides e outros monumentos desta civilização, seriam necessários conhecimentos geométricos. Estudos mais recentes contrariam esta opinião e referem que os egípcios foram buscar aos babilónios muito do seu saber.

     A palavra geometria vem do grego, geo=terra + metria=media, ou seja, medir a terra. Isso mostra que a geometria nasceu para ser prática, das necessidades dos povos antigos de resolver problemas e facilitar tarefas do cotidiano. Tarefas como, partilhar terras férteis, a cobrança de impostos dessas mesmas terras, construir casas, observar e prever movimentos dos astros, são alguns exemplos da aplicação da geometria no cotidiano. Por exemplo, os egípcios usavam o triangulo retângulo de 45° para descobrir a distância que um barco A se encontra do litoral(conforme a figura), apenas posicionando um homem B em linha reta com o barco fazendo uma ângulo reto, e outro homem C numa distância formando 45º entre a linha do barco e do outro homem. A distância L entre os 2 homens é a mesma entre o barco e o homem que forma o ângulo reto. Da mesma maneira o cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

     Mas foi na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Foi na Grécia do séc. 7 a.C. que a geometria se estabelece como ciência dedutiva. A geometria grega é a geometria da régua e do compasso. Os gregos herdam toda a experimentação, intuição e empirismo dos egípcios, estipulando neles leis e regras acerca do espaço. Encaravam a geometria de duas vertentes, uma mais prática e outra mais contemplativa. A contemplativa – a actividade do pensamento era personificada pela figura feminina. A prática, associada às leis e ao racional, era associada à figura masculina.
     A geometria dos gregos era fortemente influenciada por considerações filosóficas, estéticas, religiosas, que via a perfeição em tudo o que era circular. Foi Tales de Mileto (624 – 546 a.C.) o grande impulsionador da geometria, trazendo se suas viagens ao Egito. Das suas principais proposições destaca-se a demonstração da altura da pirâmide através da sua sombra. Pitágoras (570 – 495 a.C.), além do seu principal legado o “Teorema de Pitágoras”, trabalha na geometria espacial com os elementos cubo, esfera, tetraedro e octaecaedro. Euclides (360 – 295 a.C.), possivelmente não descobriu sequer uma só lei importante da geometria. No entanto, ele é o mais famoso geômetra já conhecido, compilou todo conhecimento da geometria de sua época em seu livro "Os Elementos", onde demonstra postulados como “Todos os ângulos retos são iguais”; “Juntando igual com igual os totais são iguais”; “O todo é maior do que a parte”, etc. E Apolónio de Perga (262 – 190 a.C), considerado o “Grande Geómetra”. A sua principal obra “As cónicas”, é considerada por muitos o ponto máximo da geometria grega. Usando a geometria, os gregos conseguiram feitos que impressionam até os dias hoje. Entre eles estão Eratóstenes e Aristarco de Samos.

     Eratóstenes (276 e 273 a.C. - 194 a.C.) foi um matemático, gramático, poeta, geógrafo, bibliotecário e astrônomo da Grécia Antiga. Nasceu em Cirene, Grécia, e morreu em Alexandria. Estudou em Cirene, em Atenas e em Alexandria. Os contemporâneos chamavam-no de "Beta" porque o consideravam o segundo melhor do mundo em vários aspectos. Ele era bibliotecário-chefe da famosa Biblioteca de Alexandria, e foi lá que encontrou, num velho papiro, indicações de que ao meio-dia de cada 21 de junho na cidade de Siena, 800 km ao sul de Alexandria, uma vareta fincada verticalmente no solo não produzia sombra. Cultura inútil, diriam alguns. Não para um homem observador como Eratóstenes. Ele percebeu que o mesmo fenômeno não ocorria no mesmo dia e horário em Alexandria e pensou: Se o mundo é plano como uma mesa, então as sombras das varetas têm de ser iguais. Se isto não acontece é porque a Terra deve ser curva. Mais do que isso. Quanto mais curva fosse a superfície da Terra, maior seria a diferença no comprimento das sombras. O Sol deveria estar tão longe que seus raios de luz chegam à Terra paralelos.

     Varetas fincadas verticalmente no chão em lugares diferentes lançariam sombras de comprimentos distintos. Eratóstenes decidiu fazer um experimento. Ele mediu o comprimento da sombra em Alexandria ao meio-dia de 21 de junho, quando a vareta em Siena não produzia sombra. Assim obteve o ângulo A, conforme a figura abaixo. Eratóstenes mediu A=7° (aproximadamente). Se as varetas estão na vertical, dá para imaginar que se fossem longas o bastante iriam se encontrar no centro da Terra. Preste atenção na figura acima. O ângulo B terá o mesmo valor que A, pois o desenho de Eratóstenes se reduz a uma geometria muito simples: se duas retas paralelas interceptam uma reta transversal, então os ângulos correspondentes são iguais. As retas paralelas são os raios de luz do Sol e a reta transversal é a que passa pelo centro da Terra e pela vareta em Alexandria. O ângulo B (também igual a 7°), é a uma fração conhecida da circunferência da Terra e corresponde à distância entre Siena e Alexandria. Eratóstenes sabia que essa distância valia cerca de 800 km e então pensou: 7° = 1/50 da circunferência (360°) e isso corresponde a cerca de 800 km. Oitocentos quilômetros vezes cinqüenta são quarenta mil quilômetros, de modo que deve ser este o valor da circunferência da Terra. O valor atualmente aceito é cerca de 40.072 km ao longo da linha do equador. Um erro muito pequeno para uma medida tão simples, e feita há tanto tempo! Com a circunferência, podemos calcular o diâmetro e o raio ou ainda o volume e a área da superfície, através de fórmulas simples. Repare que o conhecimento utilizado por Eratóstenes (retas paralelas cortadas por uma transversal) é formalmente adquirido hoje nas aulas de geometria do ensino fundamental.

     Aristarco (320 a.C – 250 a.C) nasceu em Samos, na Grécia. Talvez por ser um astrônomo, não tenha tido tanto destaque quanto mereceu na história da Matemática até os tempos atuais. Acreditava que a terra se movia em torno do sol e estudava um modo de medir a distância do Sol e o tamanho da Lua. Na mesma época de Eratóstenes, ele usou uma geometria elegante e de extrema simplicidade para medir a distância Terra-Sol, já conhecendo a distância da Terra à Lua. O que nos leva a imaginar o quanto da sabedoria antiga se perdeu ao longo da história. Todas as vezes que vemos um objeto sob um ângulo de 1 grau é porque ele está, necessariamente, afastado de nós 57 vezes o seu tamanho. Como sabemos disso? É fácil. Basta recordar o conceito de tangente e verificar que a tangente de 1° (um grau) vale aproximadamente 0,01745. Podemos continuar o raciocínio e verificar que se observarmos um astro sob um ângulo de 30 minutos de arco (meio grau), ele estará afastado cerca de 115 vezes o seu diâmetro. Acontece que vemos a Lua Cheia sob um ângulo médio de 31 minutos de arco, o que nos diz que ela esta distante de nós cerca de 115 vezes o seu diâmetro. Se você já conhece a distância da Terra à Lua, agora também já pode saber o seu diâmetro. Daí também não será difícil calcular o volume, a área da superfície. 

     Para calcular a distância da Terra ao Sol, também usa-se a geometria. Repare como é simples. Aristarco sabia que quando a Lua exibia um quarto iluminada (crescente ou minguante) era possível desenhar o triângulo retângulo da figura ao lado. A distância B corresponde a que existe entre a Terra e a Lua, o ângulo A à separação angular entre a Lua e o Sol, visto por um observador na Terra. Então, para calcular a distância C basta lembrar que ela é B dividida pelo cosseno do ângulo A, pois o cosseno de um ângulo é a medida do cateto adjacente a esse ângulo, no caso B, dividido pela hipotenusa do triângulo retângulo, C.  claro que tamanha simplificação traz limitações ao resultado. Porém, o maior desafio aqui é saber o instante exato da Lua em quarto crescente ou minguante, para que o ângulo A reflita um resultado pelo menos aproximado. Além disso, como precisamos de valores trigonométricos, boas tábuas tinham de ter sido elaboradas antes. Vale lembrar que, naquela época, a constante pi (3,14159...) era calculada como 22 ÷ 7.

     A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas, relações musicais, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma, a mente do geômetra. Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra, puderam ser transformados em problemas de geometria, muitas vezes levando a facilitação das soluções.

Provando que √2, é irracional

Bom doidinhos,

Hoje tentarei provar que raíz quadrada de 2 (√2)  é um número irracional.

Primeiramente vamos relembrar oque são número irracionais. Segue então a definição do Sr. Wiki:

"Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo I."

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Número_irracional

Lembrando então que temos os números inteiros representados por Z={1,2,3,4...}, temos também os números racionais, que são representados como razão (divisão) de números inteiros representados por Q={1/2,2/3,7/9...}, os números irracionais que não podem ser representados por uma razão irredutível entre dois números inteiros. Os números irracionais são muitos, e os mais famosos são pi (π), o número de Euler (e) e a raiz quadrada de 2 (√2). Então o número 0,666... é racional, pois pode ser representado como razão de 2 números inteiros, 2/3=0,6666... , mas o número pi, que é 3,1415... não pode ser representado por nenhuma divisão de inteiros.

Os números racionais tem uma participação de amor e ódio na história da matemática. Pitágoras foi um matemática e filósofo grego, nascido na ilha de Samos em 570 a.C. e morto em 497 a.C. Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica. Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas. 

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. O princípio essencial de que são compostas todas as coisas, é o número, ou seja, as relações matemáticas. Os pitagóricos, não distinguindo ainda bem forma, lei e matéria, substância das coisas, consideraram o número como sendo a união de um e outro elemento. Da racional concepção de que tudo é regulado segundo relações numéricas, passa-se à visão fantástica de que o número seja a essência das coisas.

A primitiva concepção pitagórica de número apresentava limitações que logo exigiriam dos próprios pitagóricos tentativas de reformulação. O principal impasse enfrentado por essa aritmo-geometria baseada em inteiros (já que as unidades seriam indivisíveis) foi o levantado pelo números irracionais.Para os pitagóricos, o números irracionais era uma aberração, que destruía a harmonia dos números do cosmos. Por isso, durante muitos anos os pitagóricos esconderam e negaram e existência dos números irracionais. Até que Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.

Mas agora vamos ao que interessa:  √2, é irracional?

Como podemos provar?

Para conseguirmos essa prova, usaremos um tipo de argumentação lógica chamada Redução ao Absurdo ou Prova por Contradição, que é uma técnica que usa uma argumentação contraditória chegando a um resultado absurdo,ou seja, provar que o oposto (do argumento inicial) não é possível. Sendo assim provaremos que √2 é irracional, provando que não pode ser um número racional(absurdo). 
Então iniciaremos supondo que se raiz quadrada de 2 é racional então pode ser representado por uma fração:

√2 = a / b

elevando os 2 lados da expressão ao quadrado, nos livramos da raiz e sobra:

2 = a² / b²

então passando b² para o outro lado da expressão fica:

a² = 2b²

então sabemos que a é um numero par, pois qualquer número multiplicado por 2 é par. Como raízes quadradas de números ímpares são ímpar e de pares são par, temos então que a é par. Assumiremos então que a é o dobro de um numero qualquer, por exemplo, de c, então:

a = 2c

subistituindo na equção:

(2c)² = 2b²

4c² = 2b²

2c² = b²

pelos mesmos argumentos demostrados anteriormente, chegaremos a conclusão que b também é par. 

Então se raiz quadrada de dois fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível. Isto é um absurdo e, portanto √2 é irracional.

E tenho dito!!!!

Pi e Phi

Todos nós já ouvimos falar em número Pi(π). É o irracional mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro Equivale a 3,141592653589793238462643383279502884197169399375... e é conhecido vulgarmente como 3,1416. Não confundir com o número Phi que corresponde a 1,618. O número Phi (letra grega φ que se pronuncia "fi") apesar de não ser tão conhecido, tem um significado muito mais interessantee. Durante anos o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. 

Construção de um retângulo de ouro

Os gregos criaram então o retângulo de ouro. Era um retângulo, do qual havia-se proporções: o lado maior dividido pelo lado menor e a partir dessa proporção tudo era construído. Assim eles fizeram o Parthenon. A proporção do retângulo que forma a face central e lateral. A profundidade dividida pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618.

Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides: cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3ª fileira e assim por diante. Durante milênios, a arquitetura clássica grega prevaleceu.
O retângulo de ouro era padrão, mas depois de muito tempo - veio a construção gótica com formas arredondadas, que não utilizavam o retângulo de ouro grego. Na construção moderna o prédio a Organização das Nações Unidas também foi construído usando retângulos de ouro.

Prédio da ONU em Nova Iorque

Mas no ano 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos, criou aquela que é provavelmente a mais famosa seqüência matemática, a Série Fibonacci.
A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma seqüência onde um número é igual a soma dos dois números anteriores: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
1+1=2
2+1=3
3+2=5
5+3=8
8+5=13
13+8=21
21+13...e assim por diante.
No resnacimento, a proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticello, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto, e em sua obra o Homem Vitruviano (que uso como pano do fundo do Blog) mostra as idéias de proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.

Aí entra a 1ª "coincidência": a proporção de crescimento média da série é... 1,618. Os números variam, um pouco acima às vezes, em outras um pouco abaixo, mas a média é 1,618 - exatamente a proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova idéia de tal proporção, a ponto de os cientistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.

Por exemplo:
- A proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colméia é de 1,618;
- A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618;
- A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é de 1,618;
- A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore a medida que subimos de altura é de 1,618;

E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1,618.
Por isso, o número Phi ficou conhecido como Proporção Áurea.

Por que os historiadores religiosos descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo?
Por volta de 1500, com o retorno do Renascentismo, a cultura clássica voltou à moda.
Michelangelo e, principalmente Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura pagã, colocaram esta proporção natural em suas obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe: ele, como cientista, usava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto a proporção áurea do que o corpo humano... obra prima de Deus.
Por exemplo:
- Meça sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até o chão: o resultado é 1,618.
- Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu cotovelo até o dedo: o resultado é 1,618.
- Meça seus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra: o resultado é 1,618;
- Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão. O resultado é 1,618;
- A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da cabeça dá 1,618;
- Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax: o resultado é 1,618;

Considere sempre erros de medida da régua ou fita métrica, que não são objetos acurados de medição.

Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela Divina Proporção. Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem, coisas teoricamente diferentes, são todas ligadas numa proporção em comum.

Até hoje essa é considerada a mais perfeita das proporções. Meça seu cartão de crédito, largura / altura, seu livro, seu jornal, uma foto revelada. Lembre-se de considerar sempre erros de medida da régua ou fita métrica.

O diretor russo Serguei Eisentein se utilizou do número φ no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.

O número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia n.º 5 e a Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven, e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach, é que, em seus solos curtos, aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa. O compositor húngaro Béla Bartók utiliza esta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra. Este fato pode ser visto na análise da música de Bartók feita por Ernö Lendvai (Béla Bartók: And Analysis of his Music).

Então...isso tudo seria uma mera coincidência?

Desafio por e-mail

Bom doidos,
recebi por e-mail esse desafio e resolvi postar aqui. Provavelmente já conhecem pois eu também já tinha recebido tempos atrás.

DESAFIO:
A situação é essa:
Essa é pra endoidar quem diz que a matemática é lógica…Eu, Tu e Ele…. fomos comer no restaurante e no final a conta deu R$30,00.Fizemos o seguinte: cada um deu dez reais…
Eu: R$ 10,00
Tu: R$ 10,00
Ele: R$ 10,00
O garçom levou o dinheiro até o caixa e o dono do restaurante disse o seguinte:
Esses três são clientes antigos do restaurante, então vou devolver R$5,00 para eles! E entregou ao garçom cinco moedas de R$ 1,00. O garçom, muito esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$1,00 para cada um de nós. No final ficou assim:
Eu: R$ 10,00 (- R$1,00 que foi devolvido) = Eu gastei R$ 9,00
Tu: R$ 10,00 (- R$1,00 que foi devolvido) = Tu gastaste R$ 9,00
Ele:R$ 10,00 (- R$1,00 que foi devolvido) = Ele gastou R$ 9,00
Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três gastamos juntos, foi R$ 27,00.
E se o garçom pegou R$2,00 para ele, temos:
Nós: R$ 27,00
Garçom: R$ 2,00
TOTAL: R$ 29,00
Pergunta-se:
Onde foi parar a droga do outro R$ 1,00?

Então??? Que diabos aconteceu com esse dinheiro?
Bom, o x questão não é matemática e sim lógica. Conforme aprendemos na escola (4° série se não me falha a memória) sempre que queremos conferir se uma conta está correta utilizamos a Prova Real.
Pra quem matou essa aula segue a definição do Wikipédia:

     "Prova real
        Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
     Prova real é uma operação matemática realizada para provar que outra operação está correta. Para fazer isto, basta utilizar uma operação contrária usando o resultado obtido na primeira operação."
      Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_real

Ou seja, para saber se a conta A+B=C está correta basta fazer a operação contrária, C-A=B, ou C-B=A. Exemplificando, se 7+9=16, então 16-9=7 e 16-7=9. Operações de Adição e Subtração são opostas entre si, assim como Multiplicação e Divisão são opostas entre si.

Então vemos que a conta 27+2=29 não é prova real, só é usada pra dar o nó na cabeça mesmo. Vamos começar pelo início. A conta deu 30 pila, sendo assim 10+10+10=30. Mas o dono resolveu dar 5 piletas de desconto, ou seja a conta ficou 25, então a prova real seria, como cada 1 pagou 9 mangos, dá 27, menos 2 que o garçom roubou (pois deveria devolver como troco) fecha os 25 da conta, ou seja 27-2=25.

Espero ter sido claro.
Abraços
Bruno Martinez Ribeiro

Matemática na Natureza

     Bom doidos, vi esse vídeo bem bacana e resolvi postar aqui. Mesmo que você não goste de matemática, este vídeo ainda vai deslumbrar você. Para quem não sabe, a natureza carrega a matemática de uma forma inacreditável, e a animação que mostra essa relação vai impressionar animadores, biólogos e matemáticos.
Você pode conferir mais sobre a animação Nature By Numbers, e pode assistir essa beleza de 3 minutos logo abaixo.
É impressionante:

Abs
Bruno Martinez Ribeiro

Provando o Teorema de Pitágoras usando Geometria

Bom dia,
Nesse post segue uma demonstração bem simples que o antigo teorema de Pitágoras é verdadeiro usando apenas geometria e algebra básica.
Bom, para iniciarmos a prova que a² + b² = c² é verdadeira, começaremos com um quadrado de lado qualquer abaixo:


Dividindo cada lado do quadrado em  duas partes de tamanho a e b fixos, dividiremos o quadrado em quatro figuras geométricas.A área total do quadrado externo é igual a soma das áreas das figuras internas, ou seja o quadrado maior a², duas vezes o retangulo ab e mais o quadrado pequeno b². Então temos A = a² + 2ab + b² .
Agora usaremos outro quadrado com o comprimento de lado igual, então temos um quadrado com área igual. Dividiremos o quadrado com as mesmas medidas a e b conforme figura abaixo:


Note que nessa disposição surge uma linha de comprimento c, formando um trigangulo retângulo. Novamente a área total do quadrado é igual a soma da áreas das figuras internas, o quadrado c² somado aos 4 triângulos de área ab/2. Então temos: A = c² + 4ab/2.
Ja que os dois quadrados tem o mesmo lado, as áreas são iguais, então igualando as duas equações temos: a² + 2ab + b² = c² + 4ab/2. Simplificando as áreas dos triângulos da segunda equação teremos 2ab, e assim podemos também simplificar esse termo com o termo igual na primeira equação da seguinte maneira a² + 2ab + b² = c² + 2ab, sobrando assim a prova: a² + b² = c².
Espero que minha explicação tenha te ajudado.

Bruno Martinez Ribeiro